Question

如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB、DC的延長(zhǎng)線交于E，AD、BC延長(zhǎng)線交于F，EF中點(diǎn)為G，AG與圓交于K．求證：C、E、F、K四點(diǎn)共圓．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：綜合題

分析：延長(zhǎng)AG到H，使得GH=AG，連接EH、FH、CK，易證四邊形AEHF是平行四邊形，則有∠EAG=∠GHF，∠GAF=∠GHE．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠KCF=∠EAG，從而可得∠KCF=∠GHF，進(jìn)而得到K、C、H、F四點(diǎn)共圓；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠KCD=∠KAF，從而有∠KCD=∠GHE，進(jìn)而得到K、C、E、H四點(diǎn)共圓，就可解決問(wèn)題．

解答：證明：延長(zhǎng)AG到H，使得GH=AG，連接EH、FH、CK，如圖所示．
∵GH=AG，EG=FG，
∴四邊形AEHF是平行四邊形，
∴∠EAG=∠GHF，∠GAF=∠GHE．
∵A、B、C、K四點(diǎn)共圓，
∴∠KCF=∠EAG，
∴∠KCF=∠GHF，
∴K、C、H、F四點(diǎn)共圓．
∵K、C、A、D四點(diǎn)共圓，
∴∠KCD=∠KAF，
∴∠KCD=∠GHE，
∴K、C、E、H四點(diǎn)共圓，
∴K、C、E、H、F五點(diǎn)共圓，
∴C、E、F、K四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四點(diǎn)共圓的判定、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明K、C、H、F四點(diǎn)共圓和K、C、E、H四點(diǎn)共圓是解決本題的關(guān)鍵．