【題目】如圖1,點(diǎn)E為△ABC邊AB上的一點(diǎn),⊙O為△BCE的外接圓,點(diǎn)D為上任意一點(diǎn).若AE=AC=2n,BC=n2-1,BE=n2-2n+1 .(n≥2,且n為正整數(shù)) .
(1)求證:∠CAE+∠CDE=90°;
(2)①如圖2,當(dāng)CD過圓心O時(shí),①將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AEF,連接DF,請(qǐng)補(bǔ)全圖形,猜想CD、DE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;②若n=3,求AD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)①補(bǔ)全圖形見解析;,證明見解析;②
【解析】
(1)先計(jì)算AB的長,再根據(jù)勾股定理的逆定理判定,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理的推論即可證得結(jié)論;
(2)①根據(jù)題意即可補(bǔ)全圖形,如圖3,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,然后根據(jù)(1)的結(jié)論、四邊形的內(nèi)角和和周角的定義即可推出,再根據(jù)勾股定理和等量代換即可得出結(jié)論;
②如圖4,過點(diǎn)作于,先根據(jù)△ABC的面積求出CH的長,再根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系求出AH和HE的長,進(jìn)而可求出CE的長,由可得其正弦相等,進(jìn)而可求出CD的長,然后由①的結(jié)論可求出DF的長,又易證,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AD的長.
(1)證明:,
,
,,
,
,
,
,
,
即;
(2)解:①補(bǔ)全圖形如圖3所示;
CD、DE、DF之間的數(shù)量關(guān)系是:,理由如下:
如圖 3,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,
由(1)得:,
,
,
,
,
,
;
②當(dāng)時(shí),,
如圖4,過點(diǎn)作,垂足為,
則由△ABC的面積可得:,
,
,
∵CD是直徑,∴∠CED=90°,
,,
,
,即:,解得,
∴,
,
,,
,
,
.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,以B為圓心BC為半徑畫弧交AD于點(diǎn)E,連接CE,作BF⊥CE,垂足為F,則tan∠FBC的值為( 。
A. B. C. D.
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【題目】已知:如圖,直線交坐標(biāo)軸于A、C兩點(diǎn),拋物線過A、C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為拋物線位于第三象限上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,PC,試問△PAC是否存在最大值,若存在,請(qǐng)求出△APC取最大值以及點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),若△NMC是以∠NMC為直角的等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)B、C在第一象限,且四邊形OABC是平行四邊形,AB=,sinB=,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C以及邊AB的中點(diǎn)D,則四邊形OABC的面積為_____.
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【題目】如圖,四邊形ABCO為矩形,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=- (x<0)的圖象上,若點(diǎn)B在y軸上,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_______.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y = x2 – 2 m x – 2m – 2與直線y =-x-2 交于C,D兩點(diǎn),將拋物線在C、D兩點(diǎn)之間的部分(不含C、D)上恰有兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù),則m的取值范圍為______.
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【題目】一個(gè)盒子里裝有兩個(gè)紅球,兩個(gè)白球和一個(gè)藍(lán)球,這些球除顏色外都相同.從中隨機(jī)摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球,兩次摸到的球的顏色能配成紫色(紅色和藍(lán)色能配成紫色)的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,等邊三角形ABC邊長是定值,點(diǎn)O是它的外心,過點(diǎn)O任意作一條直線分別交AB,BC于點(diǎn)D,E.將△BDE沿直線DE折疊,得到△B′DE,若B′D,B′E分別交AC于點(diǎn)F,G,連接OF,OG,則下列判斷錯(cuò)誤的是( 。
A. △ADF≌△CGE
B. △B′FG的周長是一個(gè)定值
C. 四邊形FOEC的面積是一個(gè)定值
D. 四邊形OGB'F的面積是一個(gè)定值
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【題目】攀枝花得天獨(dú)厚,氣候宜人,農(nóng)產(chǎn)品資源極為豐富,其中晚熟芒果遠(yuǎn)銷北上廣等大城市.某水果店購進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)晚熟芒果,進(jìn)價(jià)為10元/千克,售價(jià)不低于15元/千克,且不超過40元/每千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內(nèi)的銷售量(千克)與該天的售價(jià)(元/千克)之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
銷售量(千克) | … | 32.5 | 35 | 35.5 | 38 | … |
售價(jià)(元/千克) | … | 27.5 | 25 | 24.5 | 22 | … |
(1)某天這種芒果售價(jià)為28元/千克.求當(dāng)天該芒果的銷售量
(2)設(shè)某天銷售這種芒果獲利元,寫出與售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果水果店該天獲利400元,那么這天芒果的售價(jià)為多少元?
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