Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．

（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M坐標(biāo)；

（2）求△BCM面積與△ABC面積的比；

（3）若P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作射線PQ∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以A，P，Q，C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，M（1，﹣4）．（2）S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．（3）Q點(diǎn)為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）

【解析】

試題分析：（1）有拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，則可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．由與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），則代入易得解析式，頂點(diǎn)易知．

（2）求△BCM面積與△ABC面積的比，由兩三角形不為同高或同底，所以考慮求解求出兩三角形面積再作比即可．因?yàn)镾△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=ABOC，則結(jié)論易得．

（3）由四邊形為平行四邊形，則對(duì)邊PQ、AC平行且相等，過(guò)Q點(diǎn)作x軸的垂線易得Q到x軸的距離=OC=3，又（1）得拋物線解析式，代入即得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，則Q點(diǎn)可求．

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

∵拋物線過(guò)點(diǎn)（0，﹣3），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），

∴a=1，

∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴M（1，﹣4）．

（2）如圖1，連接BC、BM、CM，作MD⊥x軸于D，

∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC

=（3+4）1+2×4﹣33

=+﹣=3

S△ABC=ABOC=43=6，

∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．

（3）存在，理由如下：

①如圖2，當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，作QE⊥x軸于E，

∵四邊形ACQP為平行四邊形，

∴PQ平行且相等AC，

∴△PEQ≌△AOC，

∴EQ=OC=3，

∴﹣3=x2﹣2x﹣3，

解得 x=2或x=0（與C點(diǎn)重合，舍去），

∴Q（2，﹣3）．

②如圖3，當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，作QF⊥x軸于F，

∵四邊形ACPQ為平行四邊形，

∴QP平行且相等AC，

∴△PFQ≌△AOC，

∴FQ=OC=3，

∴3=x2﹣2x﹣3，

解得 x=1+或x=1﹣，

∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．

綜上所述，Q點(diǎn)為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）