Question

如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）證明：DE為⊙O的切線；
（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,等腰三角形的性質(zhì),三角形中位線定理,圓周角定理

專題：幾何綜合題

分析：（1）首先連接OD，CD，由以BC為直徑的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角為30°，可得AD=BD，即可證得OD∥AC，繼而可證得結(jié)論；
（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求得BD，DE，AE的長，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面積，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連接OD，CD，
∵BC為⊙O直徑，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D點(diǎn)在⊙O上，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD=

1

2

BC=2，BD=BC•cos30°=2

3

，
∴AD=BD=2

3

，AB=2BD=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
∵DE⊥AC，
∴DE=

1

2

AD=

1

2

×2

3

=

3

，
AE=AD•cos30°=3，
∴S_△ODE=

1

2

OD•DE=

1

2

×2×

3

=

3

，
S_△ADE=

1

2

AE•DE=

1

2

×

3

×3=

3

2

3

，
∵S_△BOD=

1

2

S_△BCD=

1

2

×

1

2

S_△ABC=

1

4

×4

3

=

3

，
∴S_△OEC=S_△ABC-S_△BOD-S_△ODE-S_△ADE=4

3

-

3

-

3

-

3

2

3

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、三角形中位線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．