Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求的最小值；

（3）點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）QP＋QA的最小值為；（3）滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或．

【解析】

（1）先通過(guò)直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)計(jì)算出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入計(jì)算即可；

（2）根據(jù)對(duì)稱性知A點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是，連接PC，則QP＋QA的最小值就是PC，從而計(jì)算即可；

（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分為以OB為邊和對(duì)角線兩種情況分類討論計(jì)算．

（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B

∴A（2，0），B（0，1）

∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)

∴

∴

∴拋物線解析式為

（2）如解圖①，由（1）知，拋物線解析式為

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，

拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為

∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

∴QP＋QA的最小值

就是

（3）①OB為平行四邊形的邊時(shí)，MN＝OB，MN∥OB

∵點(diǎn)N在直線AB上

∴設(shè)

∴

∴

Ⅰ．－m2＋2m＝1

解得，m＝1

∴

Ⅱ．－m2＋2m＝－1

解得，

∴或

②當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，OB與MN互相平分，交點(diǎn)為H，

∴OH＝BH，MH＝NH，

∵B（0，1），O（0，0），

∴，

設(shè)，，

∴，

∴或，

∴或；

即：滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或．