Question

【題目】在矩形紙片ABCD中，AB=8，BC=20，F(xiàn)為BC的中點，沿過點F的直線翻折，使點B落在邊AD上，折痕交矩形的一邊于G，則折痕FG= ．

Answer 1

【答案】5或4．

【解析】

試題分析：過F作FE⊥AD于E，可得出四邊形ABFE為矩形，利用矩形的性質(zhì)得到AE=BF，AB=EF，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)G在AB上，B′落在AE上時，如圖1所示，由折疊的性質(zhì)得到B′F=BF，BG=B′G，在直角三角形EFB′中，利用勾股定理求出B′E的長，由AE﹣B′E求出AB′的長，設(shè)AG=x，由AB﹣AG表示出BG，即為B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AG的長，進(jìn)而求出BG的長，在直角三角形GBF中，利用勾股定理即可求出折痕FG的長；（ii）當(dāng)G在AE上，B′落在ED上，如圖2所示，同理求出B′E的長，設(shè)A′G=AG=y，由AE+B′E﹣AG表示出GB′，在直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出關(guān)于y的方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，求出AG的長，由AE﹣AG求出GE的長，在直角三角形GEF中，利用勾股定理即可求出折痕FG的長，綜上，得到所有滿足題意的折痕FG的長．

解：分兩種情況考慮：

（i）如圖1所示，過F作FE⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四邊形ABFE為矩形，

∴EF=AB=8，AE=BF，

又BC=20，F(xiàn)為BC的中點，

∴由折疊可得：B′F=BF=BC=10，

在Rt△EFB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E==6，

∴AB′=AE﹣B′E=10﹣6=4，

設(shè)AG=x，則有GB′=GB=8﹣x，

在Rt△AGB′中，根據(jù)勾股定理得：GB′2=AG2+AB′2，

即（8﹣x）2=x2+42，

解得：x=3，

∴GB=8﹣3=5，

在Rt△GBF中，根據(jù)勾股定理得：GF==5；

（ii）如圖2所示，過F作FE⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四邊形ABFE為矩形，

∴EF=AB=8，AE=BF，

又BC=20，F(xiàn)為BC的中點，

∴由折疊可得：B′F=BF=BC=10，

在Rt△EFB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E==6，

∴AB′=AE+B′E=10+6=16，

設(shè)AG=A′G=y，則GB′=AB′﹣AG=AE+EB′﹣AG=16﹣y，A′B′=AB=8，

在Rt△A′B′G中，根據(jù)勾股定理得：A′G2+A′B′2=GB′2，

即y2+82=（16﹣y）2，

解得：y=6，

∴AG=6，

∴GE=AE﹣AG=10﹣6=4，

在Rt△GEF中，根據(jù)勾股定理得：GF==4，

綜上，折痕FG=5或4．

故答案為：5或4．