Question

如圖，AB是⊙O的直徑，

AC

=

CD

，BC=EC，∠CBD=30°．
（1）求證：直線CE是⊙O點切線；
（2）若OC=6，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得∠COD=2∠CBD=60°，則可判斷△OCD為等邊三角形，得到∠COD=60°，由于

AC

=

CD

，所以∠AOC=∠COD=60°，于是可計算出∠OBC=30°，然后利用BC=EC得到∠E=∠CBE=30°，則∠OCE=90°，再根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）由△OCD為等邊三角形得∠OCD=60°，而∠AOC=∠OCD，于是可判斷AB∥CD，根據(jù)三角形的面積公式即可得到陰影部分的面積=S_△OCD=9

3

．

解答：（1）證明：∵∠CBD=30°，
∴∠COD=2∠CBD=60°，
而OC=OD，
∴△OCD為等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∵

AC

=

CD

，
∴∠AOC=∠COD=60°，
而∠AOC=∠COB+∠OBC，
∴∠OBC=30°，
∵BC=EC，
∴∠E=∠CBE=30°，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥AC，
∴直線CE是⊙O點切線；
（2）解：∵△OCD為等邊三角形，
∴∠OCD=60°，
∴∠AOC=∠OCD，
∴AB∥CD，
∴陰影部分的面積=S_△OCD=

3

4

•6²=9

3

．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．