【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5),

把點A(0,4)代入上式得:a=

∴y= (x﹣1)(x﹣5)= x2 x+4= (x﹣3)2 ,

∴拋物線的對稱軸是:直線x=3;


(2)解:P點坐標為(3, ).

理由如下:

∵點A(0,4),拋物線的對稱軸是直線x=3,

∴點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4)

如圖1,連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最。

設直線BA′的解析式為y=kx+b,

把A′(6,4),B(1,0)代入得 ,

解得 ,

∴y= x﹣ ,

∵點P的橫坐標為3,

∴y= ×3﹣ = ,

∴P(3, ).


(3)解:在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大.

設N點的橫坐標為t,此時點N(t, t2 t+4)(0<t<5),

如圖2,過點N作NG∥y軸交AC于G;作AD⊥NG于D,

由點A(0,4)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為:y=﹣ x+4,

把x=t代入得:y=﹣ t+4,則G(t,﹣ t+4),

此時:NG=﹣ t+4﹣( t2 t+4)=﹣ t2+4t,

∵AD+CF=CO=5,

∴SACN=SANG+SCGN= AD×NG+ NG×CF= NGOC= ×(﹣ t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣ 2+ ,

∴當t= 時,△CAN面積的最大值為 ,

由t= ,得:y= t2 t+4=﹣3,

∴N( ,﹣3).


【解析】(1)設拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5),然后將代入A(0,4)代入拋物線的解析式可求得a的值,從而可得到拋物線的解析式,然后利用拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸;
(2)作點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′,連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最小,然后再求出直線BA′的解析式,從而可求得點P的坐標.
(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大.設N點的橫坐標為t,可得到點N的坐標,再求得直線AC的解析式,從而可求得NG的長t的函數(shù)關(guān)系式,最后再求出二次函數(shù)最大值即可.

練習冊系列答案
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