Question

如圖所示，在△ABC中，BD，CD是內(nèi)角平分線，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分線．分別交于D，P．
（1）若∠A=30°，求∠BDC，∠BPC；
（2）不論∠A為多少時(shí)，探索∠D+∠P的值是變化還是不變化，為什么？

Answer 1

分析：（1）已知BD，CD是內(nèi)角平分線，∠A為30°，可利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠BDC、∠BPC即可．
（2）本題考查的是三角形內(nèi)角和定理．因?yàn)锽D，CD是內(nèi)角平分線，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分線，又因?yàn)椤螦BC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF=180°，易求出∠D+∠P的值不變．

解答：解：（1）已知BD，CD是內(nèi)角平分線，
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=150°，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×150°=75°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-75°=105°．
又∵∠CBE+∠BCF=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-150°=210°，
∵BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分線，
∴∠CBP+∠BCP=

1

2

（∠CBE+∠BCF）=105°，
∴∠BPC=75°；

（2）不變，∠D+∠P=180°．
∵∠ABC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF=180°，
BD，CD是內(nèi)角平分線，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分線，
∴∠D+∠P=180°．

點(diǎn)評(píng)：此類題解答的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)．重點(diǎn)是運(yùn)用內(nèi)角和定理求出∠BDC，∠BPC．