Question

如圖，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是對角線BD上的一個動點(diǎn)，作PF⊥BD于P，交邊BC于點(diǎn)F（點(diǎn)F與B、C都不重合），E是射線FC上一動點(diǎn)，連接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，設(shè)B、P兩點(diǎn)的距離為x，△DEP的面積為y．
（1）求出tan∠PBF；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)△DEP與△BCD相似時，求△DEP的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出tan∠CBD=

CD

BC

=

1

2

，即可得出tan∠PBF的值；
（2）首先得出△PEF∽△BEP，進(jìn)而得出△PBF∽△HBE，即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系；
（3）利用當(dāng)△DEP與△BCD相似時，只有兩種情況：∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=4，∠C=90°
∴tan∠CBD=

CD

BC

=

1

2

，
又∵∠PBF=∠CBD∠BPF=90°
∴tan∠PBF=

PF

BP

=tan∠CBD=

1

2

；

（2）∵∠EPF=∠FBP  即∠EPF=∠EBP
又∵∠PEF=∠BEP
∴△PEF∽△BEP
∴

PE

BE

=

EF

EP

=

PF

BP

=

1

2

∴EP=2EF，BE=2PE  即 BE=4EF，
如圖1，作EH⊥BD于H，則∠FPB=∠EHB=90°
又∵∠PBF=∠HBE
∴△PBF∽△HBE
∴

HE

PF

=

BE

BF

=

4

3

，
設(shè)BP=x，則PF=

1

2

x
∴HE=

4

3

PF=

4

3

×

1

2

x=

2

3

x
又∵CD=2，BC=4∠C=90°由勾股定理得BD=2

5

，
∴y=

1

2

PD•EH=

1

2

(2

5

-x)•

2

3

x=-

1

3

x2+

2 5

3

x
（0＜x＜

8 5

5

）；

（3）∵∠DPE+∠EPF=90°∠BDC+∠CBD=90°
又∵∠EPF=∠CBD
∴∠DPE=∠BDC
當(dāng)△DEP與△BCD相似時，
只有兩種情況：∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°    
①當(dāng)∠DEP=90°，如圖1，
∴∠DPE+∠PDE=90°  即∠PDE=∠CBD
∴BE=DE
設(shè)CE=a，則BE=DE=4-a
在Rt△DEC中，勾股定理得  a²+2²=（4-a）²
解之a=

3

2

，
則DE=4-

3

2

=

5

2

，
又∵△BCD的面積S_△BCD=4
∴

S△DEP

S△BCD

=(

DE

BC

)2=

25

64

∴S△DEP=

25

16

，
②當(dāng)∠EDP=90°，如圖2，
∵∠EDP=∠C=90°，∠DBE=∠CBD，
∴△EDB∽△DCB，
∴

ED

DC

=

DB

CB

=

2 5

4

，
∴ED=

5

，
∴

S△DEP

S△BCD

=(

DE

BC

)2=

5

16

，
∴S△DEP=

5

4

．
（第3問解法二簡述：①當(dāng)∠DEP=90°時，

PE

PD

=

DC

BD

解得x=

3 5

4

∴y=

1

2

HE•PD=

1

2

•

2

3

•

3 5

4

(2

5

-

3 5

4

)=

25

16

，
②當(dāng)∠EDP=90°時，

PD

PE

=

DC

BD

，
解得x=

3 5

2

，
∴y=

5

4

（其他證明方法和解法參考給分）．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．