Question

拋物線y=-x²+6x-5與x軸交點為A，B（A在B左側），頂點為D．與Y軸交于點C．
（1）求△ABC的面積．
（2）若在拋物線上有一點M，使△ABM的面積是△ABC的面積的2倍．求M點坐標．
（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）當x=0時求出y的值，當y=0時求出x的值，畫出函數的大致圖象如圖1，求出AB的值由三角形的面積公式就可以求出結論；
（2）設M（m，-m²+6m-5），由三角形的面積公式建立方程求出m的值即可；
（3）由軸對稱的性質連結CB交對稱軸于點Q，求出直線CB的解析式就可以求出，由拋物線的對稱軸就可以求出Q的坐標．

解答：解：（1）如圖1，

當x=0時，y=-5．
∴C（0，-5）．
∴OC=5
當y=0時，-x²+6x-5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴A（1，0），B（5，0）．
∴AB=4，
∴S△_ABC=

4×5

2

=10．
答：△ABC的面積為10；
（2）如圖2，

∵y=-x²+6x-5，
∴y=-（x-3）²+4
∴頂點E坐標為（3，4）．
當M在x軸的上方時，三角形ABM的最大值為：

4×4

2

=8≠20．
∴M在x軸的下方．
設M（m，-m²+6m-5），
∴△ABM的AB邊上的高為m²-6m+5，
∴

4(m2-6m+5)

2

=20，
解得：m₁=3+

14

，m₂=3-

14

，
∴M（3+

14

，-10）或（3-

14

，-10）；
（3）如圖3，

連結CB交對稱軸于點Q，直線CB的解析式為y=kx+b，由題意，得

-5=b 0=5k+b

，
解得：

k=1 b=-5

，
∴y=x-5．
當x=3時，
y=-2，
∴Q（3，-2）．

點評：本題考查了二次函數的解析式的運用，軸對稱的性質的運用，三角形的面積公式的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，解答時運用二次函數的性質求解是關鍵．