Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AC上的一點，CD=3，BC=5，BD=4．
（1）求證：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

考點：勾股定理的逆定理,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用勾股定理的逆定理即可直接證明△BCD是直角三角形；
（2）設(shè)AD=x，則AC=x+3，在直角△ABD中，利用勾股定理即可列出方程，解方程，即可求解．

解答：（1）證明：∵CD=3，BC=5，BD=4，
∴CD²+BD²=9+16=25=BC²，
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°；

（2）解：設(shè)AD=x，則AC=x+3．
∵AB=AC，
∴AB=x+3．
∵∠BDC=90°，
∴∠ADB=90°，
∴AB²=AD²+BD²，
即（x+3）²=x²+4²，
解得：x=

7

6

，
∴AC=

7

6

+3=

25

6

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×

25

6

×4=

25

3

．

點評：本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．同時考查了勾股定理．