Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在線段BC、CD上有動(dòng)點(diǎn)F、E，點(diǎn)F以每秒2cm的速度，在線段BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)E以每秒1cm的速度，在線段CD上從點(diǎn)C向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)四邊形BFED的面積為y，求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍
（3）當(dāng)t為何的值時(shí)，以EE為半徑的⊙F與CD邊只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

（1）cm．（2），0＜t＜5．（3），，.

試題分析：（1）首先根據(jù)已知條件“BD⊥DC，∠A=90°”及平行線的性質(zhì)（兩直線AD∥CB，內(nèi)錯(cuò)角∠ADB=∠DBC）證明△ABD∽△DCB；然后由勾股定理及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AD的長(zhǎng)度；
（2）過點(diǎn)E作BC的垂線，垂足為G．在Rt△DBC和在Rt△EGC中，利用正弦函數(shù)求得EG=t，然后利用割補(bǔ)法求得四邊形EFDB的面積；
（3）進(jìn)行分類討論.
（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，所以BD=8cm．
因?yàn)锳D//BC，所以∠ADB=∠CBD．
在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD=，
所以AD="BD" cos∠ADB=cm．
（2）△BCD的面積為24．
如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H．
在Rt△CEH中，CE=t，sin∠C=，所以EH=CE sin∠C=t．
因此．
所以．定義域?yàn)?＜t＜5．

（3）①如圖1，當(dāng)⊙F經(jīng)過點(diǎn)D，則⊙F與邊CD有兩個(gè)交點(diǎn)
所以過點(diǎn)D作DH⊥BC，EK⊥BC
所以DF=EF
所以在Rt△DFH和Rt△EFK中，
 
  

 
所以當(dāng)⊙F與邊CD只有一個(gè)交點(diǎn)。
②如圖2，
當(dāng)時(shí)，⊙F與邊CD相切
③如圖3，時(shí)，⊙F經(jīng)過點(diǎn)C，所以當(dāng)時(shí)，⊙F與邊CD只有一個(gè)交點(diǎn)。
綜上所述，當(dāng)，，時(shí)，⊙F與邊CD只有一個(gè)交點(diǎn)。