Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求證：AB+BD=AC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：在AC上截取AE=AB，利用“邊角邊”證明△ABD和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=BD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AED=∠ABC，然后求出∠C=∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE=DE，然后結(jié)合圖形整理即可得證．

解答：證明：如圖，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中，

AE=AB ∠CAD=∠BAD AD=AD

，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DE=BD，∠AED=∠ABC，
∵∠AED=∠C+∠CDE，∠ABC=2∠C，
∴∠CDE=∠C，
∴CE=DE，
∵AE+CE=AC，
∴AB+BD=AC．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．