Question

在平面直角坐標系中，拋物線的解析式是

，點的坐標是，平行四邊形的頂點在拋物線上，與軸交于點，已知點在拋物線上，點在軸上.

（1）寫出點的坐標；

（2）當四邊形是以為腰的梯形時.

① 求關(guān)于的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；

② 當梯形的兩底的長度之比為時，求的值.

Answer 1

解：（1）∵OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4.

∵A，B在拋物線上，y軸是拋物線的對稱軸，∴ A，B的橫坐標分別是2和– 2.

代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，∴M (0，2).            ………2分

（2） ① 過點Q作QH ^ x軸，設(shè)垂足為H，則HQ = y ，HP = x–t ，

由△HQP∽△OMC，得：, 即：t = x – 2y.

∵ Q(x,y) 在y = +1上，∴ t = –+ x –2.                 

                                   

當點P與點C重合時，梯形不存在，此時，t = – 4，解得x = 1±；

當Q與B或A重合時，四邊形CMQP為平行四邊形，此時，x = ± 2.

∴x的取值范圍是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有實數(shù).                  ………6分                      

② 分兩種情況討論：

 1）當CM > PQ時，則點P在線段OC上，                                                             

 ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，∴點M縱坐標為點Q縱坐標的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 .∴t =+ 0 –2 = –2  .                              ………7分                                         

2）當CM < PQ時，則點P在OC的延長線上， ∵CM∥PQ，CM = PQ，

∴點Q縱坐標為點M縱坐標的2倍，即+1=2´2，解得：x = ±.                                                 

當x = –時，得t =––2 = –8 –；           ………8分

當x =時， 得t =–8.                                    ………9分