Question

如圖， AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，且AC=AB，CO交⊙O于

點P，CO的延長線交⊙O于點F，BP的延長線交AC于點E，連接AP 、AF．

求證：

（1）AF∥BE；

（2）△ACP∽△FCA；

（3）CP=AE．

Answer 1

（1）∵∠B、∠F同對劣弧AP ，∴ ∠B =∠F        （1分）

∵BO=PO，∴∠B =∠B PO      （2分）

∴∠F=∠B P F，∴AF∥BE      （3分）

（2）∵AC切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，

    ∴  ∠BAC=90°

∵ AB是⊙O的直徑， ∴ ∠B PA=90°           （4分）

∴∠EA P =90°—∠BE A，∠B=90°—∠BE A，

∴∠EA P =∠B=∠F              （5分）

又∠C=∠C，∴△ACP∽△FCA      （6分）

（3）∵ ∠C PE= ∠B PO=∠B=∠EA P， ∠C=∠C  

   ∴△P C E ∽△ACP  ∴       （7分）

∵∠EA P=∠B，∠E P A =∠A P B =90°

∴△EA P ∽△A B P   ∴ （8分）

又AC=AB，∴         （9分）

于是有  ∴CP=AE．          （10分）

第24題解答整理如下：

（1）證明：方法一：

∵=   ∴∠B=∠F

又∵OB=OP   ∴∠B=∠BPO

∴∠BPO=∠F

∴AF∥EB

方法二：

∵AB、PF都是⊙O的直徑

∴∠BPA=90º=∠FAP

∴∠BPA＋∠FAP=180º

∴AF∥EB

方法三：

∵∠BOF=∠POA

∴∠BPO=∠F

∴AF∥EB

方法四：

∵OB=OA   OP=OF  ∠BOP=∠FOA

∴△OBP≌△OAF

∴∠BPO=∠F

∴AF∥EB

方法五：

連結BF

∵OB=OA= OP=OF

∴四邊形BFAP是矩形

∴AF∥EB

（2）證明：

方法一：

∵∠C=∠C

而AC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑

∴∠BAC=90º

∵PF是⊙O的直徑

∴∠PAF=90º

而∠CAP＋∠PAB=90º=∠FAB＋∠PAB

∴∠CAP=∠FAB=∠F

∴△ACP∽△FCA

方法二：

∵∠C=∠C

∠CPA=∠CPE＋90º=∠BPO＋90º=∠F＋90º=∠BAF＋90º=∠CAF

∴△ACP∽△FCA

 

方法三：

∵AC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑

∴∠BAC=90º

∵PF是⊙O的直徑

∴∠PAF=90º

而∠CAP＋∠PAB=90º=∠FAB＋∠PAB

∴∠CAP=∠FAB=∠F

∵∠CPA=∠CPE＋90º=∠BPO＋90º=∠F＋90º=∠BAF＋90º=∠CAF

∴△ACP∽△FCA

（3）證明：

方法一：

∵ AF∥EP  ∴△CPE∽△CFA

又∵△ACP∽△CFA 

∴△CPE∽△ACP  ∴

∵∠EAP=∠B   ∠EPA=∠APB =90º

∴△EAP∽△ABP  ∴

又∵AB=AC   ∴

∴  ∴CP=AE

方法二：

由（2）有△ACP∽△FCA

     

∵∠AFP=∠ABP     ∴tan∠AFP=tan∠ABP

     

∵AB=AC         ∴PC=AE

方法三：

由（2）有△ACP∽△FCA ∴

設  ∵AC=AB=PF  ∴AC=AB=PF=

∴ 解得：PC=

∵由（1）有AF∥EP  ∴△CPE∽△CFA

∴ ∴

∴ 解得： AE= 

∴CP=AE

方法四：

在PB上取一點D，使PD=PE，連結AD（如圖3）

∵ AP⊥DE  且PD=PE  ∴ AD=AE

在△ACP與△BAD中

∵∠B=∠F=∠CAP，AB=AC

∠BAD＋∠B =∠ADE=∠AED=∠CPE＋∠C

而∠CPE=∠BPO=∠B

∴∠BAD=∠C   ∴△ACP≌△BAD

∴CP =AD=AE

方法五：

過點C作AP的垂線，交AP的延長于H（如圖4）

在Rt△ACH與Rt△BAP中

∵AB=AC    ∠B=∠CAH  ∠BPA=∠AHC=90º

∴△ACH≌△BAP

∴AP =CH

在Rt△PCH與Rt△EAP中

∵AP =CH  ∠PCH=∠F=∠EAP  ∠EPA=∠CHP=90º

∴△PCH≌△EAP

∴CP=AE 

 

方法六：

由（2）有△ACP∽△FCA ∴

∴

∵ AF∥EP  ∴△CPE∽△CFA

∵△ACP∽△CFA 

∴△CPE∽△ACP

∴  ∴

∴

∴

∴

∴         ∴

方法七：

由（2）有△ACP∽△FCA

  

   

∵ AF∥EP  ∴△CPE∽△CFA

∵△ACP∽△CFA 

∴△CPE∽△ACP             ∴

      ∴PC=AE