Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y＝a（x﹣m）+k稱(chēng)為拋物線(xiàn)y＝a（x﹣m）2+k的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)．

（1）求拋物線(xiàn)y＝x2+6x﹣1的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)；

（2）已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與它的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)y＝2x+3都經(jīng)過(guò)y軸上同一點(diǎn)，求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（3）如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線(xiàn)y＝﹣a（x﹣1）2+4a與它的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC．當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+3﹣10＝x﹣7；（2）y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；（3）a=1或a=.

【解析】

（1）先將拋物線(xiàn)的解析式化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)關(guān)聯(lián)直線(xiàn)的定義即可得出答案；

（2）由題意可得a=2，c=3，設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式為y=2（x-m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（3）由題意可得A（1，4a），B（2，3a），C（-1，0），可求AB2=1+a2，BC2=9+9a2，AC2=4+16a2，分BC，AC為斜邊兩種情況討論，根據(jù)勾股定理可求a的值．

解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10，

∴關(guān)聯(lián)直線(xiàn)為y＝x+3﹣10＝x﹣7；

（2）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與它的關(guān)聯(lián)直線(xiàn)y＝2x+3都經(jīng)過(guò)y軸上同一點(diǎn)，

∴a＝2，c＝3，

可設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式為y＝2（x﹣m）2+k，

則其關(guān)聯(lián)直線(xiàn)為y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，

∴，

解得或，

∴拋物線(xiàn)解析式為y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1；

（3）由題意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），

∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，

顯然AB2＜BC2 且AB2＜AC2，故AB不能成為△ABC的斜邊，

當(dāng)AB2+BC2＝AC2時(shí)：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，

當(dāng)AB2+AC2＝BC2時(shí)：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得a=，

∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在第一象限，

∴a＞0，即a=1或a=.