Question

如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB為直徑，設(shè)D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于G，過(guò)D作DE⊥AB于E，交AC于F．
求證：FD=FG．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：根據(jù)圓周角定理由弧AD=弧CD得到∠ABD=∠CBD，由AB為直徑得到∠ACB=90°，則∠CGB+∠CBG=90°，利用對(duì)頂角相等得∠CGB=∠DGF，則∠CGB+∠DGF=90°，再根據(jù)垂直的定義由DE⊥AB得∠D+∠EBD=90°，所以∠D=∠DGF，然后根據(jù)等腰三角形的判定易得FD=FG．

解答：證明：∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴弧AD=弧CD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CGB+∠CBG=90°，
而∠CGB=∠DGF，
∴∠CGB+∠DGF=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠D+∠EBD=90°，
∴∠D=∠DGF，
∴FD=FG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．