Question

如果方程

x

x-2

+ 

x-2

x

+ 

2x+a

x(x-2)

=0只有一個實數(shù)根，求a的值及對應(yīng)的原方程的根．

Answer 1

分析：先將原方程變形，轉(zhuǎn)化為整式方程后得2x²-2x+（a+4）=0①．由于原方程只有一個實數(shù)根，因此，方程①的根有兩種情況：（1）方程①有兩個相等的實數(shù)根，此二等根使x（x-2）≠0；（2）方程①有兩個不等的實數(shù)根，而其中一根使x（x-2）=0，另外一根使x（x-2）≠0．針對每一種情況，分別求出a的值及對應(yīng)的原方程的根．

解答：解：去分母，將原方程兩邊同乘x（x-2），整理得2x²-2x+（a+4）=0．①
方程①的根的情況有兩種：
（1）方程①有兩個相等的實數(shù)根，即△=4-4•2（a+4）=0．
解得a=-

7

2

．
當(dāng)a=-

7

2

時，解方程2x²-2x+（-

7

2

+4）=0，得x₁=x₂=

1

2

．
（2）方程①有兩個不等的實數(shù)根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個根為0或2．
（i）當(dāng)x=0時，代入①式得a+4=0，即a=-4．
當(dāng)a=-4時，解方程2x²-2x=0，x（x-1）=0，x₁=0或x₂=1．
而x₁=0是增根，即這時方程①的另一個根是x=1．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．
（ii）當(dāng)x=2時，代入①式，得2×4-2×2+（a+4）=0，即a=-8．
當(dāng)a=-8時，解方程2x²-2x-4=0，（x-2）（x+1）=0，x₁=2或x₂=-1．
而x₁=2是增根，即這時方程①的另一個根是x=-1．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．
因此，若原分式方程只有一個實數(shù)根時，所求的a的值分別是-

7

2

，-4，-8，其對應(yīng)的原方程的根依次為

1

2

，1，-1．

點評：本題考查了分式方程的解法及增根問題．由于原分式方程去分母后，得到一個含有字母的一元二次方程，所以要分情況進(jìn)行討論．理解分式方程產(chǎn)生增根的原因及一元二次方程解的情況從而正確進(jìn)行分類是解題的關(guān)鍵，本題屬于競賽題型，有一定難度．