Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，且BD=BC，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn)A移動(dòng)．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被CD垂直平分，求此時(shí)t的值；
（3）該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MA的值最��？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，

∴ ，解得 ，

∴所求拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+4

（2）解：如圖1，依題意知AP=t，連接DQ，

∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），

∴AC=5，BC=4 ，AB=7．

∵BD=BC，

∴AD=AB﹣BD=7﹣4 ，

∵CD垂直平分PQ，

∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．

∵BD=BC，

∴∠DCB=∠CDB．

∴∠CDQ=∠DCB．

∴DQ∥BC．

∴△ADQ∽△ABC．

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ，

解得DP=4 ﹣ ，

∴AP=AD+DP= ．

∴線段PQ被CD垂直平分時(shí)，t的值為 ；

（3）解：如圖2，設(shè)拋物線y=﹣ x2+ x+4的對(duì)稱軸x= 與x軸交于點(diǎn)E．點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸x= 對(duì)稱，連接BQ交該對(duì)稱軸于點(diǎn)M．

則MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，

∵當(dāng)BQ⊥AC時(shí)，BQ最小，此時(shí)，∠EBM=∠ACO，

∴tan∠EBM=tan∠ACO= ，

∴ = ，

∴ = ，解ME= ．

∴M（ ， ），即在拋物線y=﹣ x2+ x+4的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M（ ， ），使得MQ+MA的值最小

【解析】（1）利用待定系數(shù)法，把A、B坐標(biāo)代入解析式，得到方程組，求出a、b即可；（2）由垂直平分線性質(zhì)和已知條件可得出△ADQ∽△ABC，對(duì)應(yīng)邊成比例，求出DP，進(jìn)而求出AP=AD+DP，即可求出時(shí)間t;（2）要求MQ+MA的值最小，可采用對(duì)稱法，MQ+MA可轉(zhuǎn)化為MQ+MB，MQ+MA=BQ，即求BQ的最小值，當(dāng)BQ⊥AC時(shí)，BQ最小，可利用tan∠EBM=tan∠ACO= ,列出等式，求出M縱坐標(biāo).