Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，高線AD和BE交于點F．求證：CD=DF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：由AD與BE為兩條高，得到一對直角相等，再由一對對頂角相等，利用內角和定理得到∠CAD=∠FBD，根據∠ABC=45°，得到三角形ABD為等腰直角三角形，即AD=BD，利用ASA得到三角形ADC與三角形BDF全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證．

解答：證明：∵AD、BE是△ABC的高線，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠AEB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠EBC+∠BFD=90°，∠CAD+∠AFE=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠EBC，
在△BDF和△ADC中，

∠CAD=∠EBC AD=BD ∠ADC∠BDF=90°

，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴CD=DF．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．