Question

如圖，拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3 的圖象與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)，與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)E，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接DQ．過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)F作y軸的平行線(xiàn)，與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若FG=2

2

DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）通過(guò)解析式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)．
（2）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周長(zhǎng)d=-2m²-8m+2，將-2m²-8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線(xiàn)AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長(zhǎng)，從而求得三角形的面積．
（3）設(shè)F（n，-n²-2n+3），根據(jù)已知若FG=2

2

DQ，即可求得．

解答：解：（1）由拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3可知，C（0，3），
令y=0，則0=-x²-2x+3，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）．

（2）由拋物線(xiàn)y=-x²-2x+3可知，對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，
設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN）=（-m²-2m+3-2m-2）×2=-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴當(dāng)m=-2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大．
∵A（-3，0），C（0，3），設(shè)直線(xiàn)AC解析式為y=kx+b，
解得k=1，b=3，
∴解析式y(tǒng)=x+3，當(dāng)x=-2時(shí)，則E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=

1

2

•AM•EM=

1

2

．

（3）∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，
∴N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，
∴DQ=DC，
把x=-1代入y=-x²-2x+3，解得y=4，
∴D（-1，4）
∴DQ=DC=

2

，
∵FG=2

2

DQ，
∴FG=4，
設(shè)F（n，-n²-2n+3），
則G（n，n+3），
∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方，
∴（n+3）-（-n²-2n+3）=4，
解得：n=-4或n=1．
∴F（-4，-5）或（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，矩形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．