Question

（12分）如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的矩形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個大的長方形ABEF．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D，旋轉(zhuǎn)角為．

（1）當(dāng)點D′恰好落在EF邊上時，則旋轉(zhuǎn)角α的值為________度；

（2）如圖2，G為BC中點，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；

（3）小長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，是否存在旋轉(zhuǎn)角α，使△DCD′與△CBD′全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，說明理由．

Answer 1

（1）30；（2）證明見試題解析；（3）能．或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CD′的長，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，得到∠CD′E=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠α的度數(shù)；

（2）由G為BC中點可得CG=CE，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，再根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，得到GD′=E′D；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時它們?nèi)�等，�?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，可計算出α=135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，可計算得到α=315°．

試題解析：（1）∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴∠α=30°；

（2）∵G為BC中點，∴CG=1，∴CG=CE，∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∵CD′=CD，∠GCD′=∠DCE′，CG=CE′，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；

（3）能．理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∵CD′=CD′，∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時，△BCD′≌△DCD′，當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，則旋轉(zhuǎn)角α==135°，

當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°，則α=360°﹣=315°，即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時，△BCD′與△DCD′全等．

考點：1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．矩形的性質(zhì)；4．正方形的性質(zhì)．

考點分析： 考點1：圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 定義：
將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移是圖形變換的一種基本形式。平移不改變圖形的形狀和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性質(zhì)：
經(jīng)過平移，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點所連接的線段平行且相等；
平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向(平移前后的兩個圖形是全等形)。
（1）圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發(fā)生變化;
（2）圖形平移后，對應(yīng)點連成的線段平行（或在同一直線上）且相等
（3）多次連續(xù)平移相當(dāng)于一次平移。
（4）偶數(shù)次對稱后的圖形等于平移后的圖形。
（5）平移是由方向和距離決定的。
這種將圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的位置移動，叫做圖形的平移運動，簡稱為平移
平移的條件：確定一個平移運動的條件是平移的方向和距離。 平移的三個要點
1 原來的圖形的形狀和大小和平移后的圖形是全等的。
2 平移的方向。（東南西北，上下左右,東偏南n度，東偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距離。（長度，如7厘米，8毫米等） 平移作用：
1.通過簡單的平移可以構(gòu)造精美的圖形。也就是花邊，通常用于裝飾，過程就是復(fù)制-平移-粘貼。
2.平移長于平行線有關(guān),平移可以將一個角,一條線段,一個圖形平移到另一個位置,是分散的條件集中到一個圖形上,使問題得到解決。 平移作圖的步驟：
（1）找出能表示圖形的關(guān)鍵點；
（2）確定平移的方向和距離；
（3）按平移的方向和距離確定關(guān)鍵點平移后的對應(yīng)點；
（4）按原圖的順序，連結(jié)各對應(yīng)點。 試題屬性

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