Question

如圖，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，E、F分別是AB、AC上的點，且BE＝AF．

(1)求證：△DEF為等腰直角三角形；

(2)若E、F分別為AB、CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)連接AD． 　　因為AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC的中點， 　　所以AD⊥BC，∠B＝∠BAD＝∠DAC＝45°． 　　所以BD＝AD． 　　在△BDE和△ADF中， 　　因為 　　所以△BDE≌△ADF．(SAS) 　　所以ED＝FD，∠BDE＝∠ADF． 　　所以∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°． 　　所以△DEF為等腰直角三角形． 　　(2)若E、F分別是AB、CA延長線上的點，如圖所示．連接AD． 　　因為AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC的中點， 　　所以∠DAC＝∠BAD＝∠ABD＝45°，AD⊥BC． 　　所以AD＝BD，∠DAF＝∠DBE＝135°． 　　在△DAF和△DBE中， 　　因為 　　所以△DAF≌△DBE．(SAS) 　　所以FD＝ED，∠FDA＝∠EDB． 　　所以∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠FDA＋∠BDF＝∠ADB＝90°． 　　所以△DEF仍為等腰直角三角形．