Question

【題目】在平面直角坐標系中，A（2，0）、B（0，3），過點B作直線∥x軸，點P（a，3）是直線上的動點，以AP為邊在AP右側作等腰RtAPQ，∠APQ=Rt∠，直線AQ交y軸于點C．

（1）當a=1時，則點Q的坐標為；
（2）當點P在直線上運動時，點Q也隨之運動．當a=時，AQ+BQ的值最小為 ．

Answer 1

【答案】
（1）（4,4）
（2）,
【解析】（1）過點P作PE⊥OA，垂足為E，過點Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1．

∵BP∥OA，PE⊥OA，

∴∠EPF=∠PEO=90°．

∵∠APQ=90°，

∴∠EPA=∠FPQ=90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中， ，

∴△PEA≌△PFQ．

∴PE=PF，EA=QF．

∵a=1，

∴P（1，3）．

∴OE=BP=1，PE=3．

∵A（2，0），

∴OA=2，

∴EA=1．

∴PF=3，QF=1．

∴點Q的坐標為（4，4）．

（ 2 ）若點P的坐標為（a，3），則PF=PE=3，QF=AE=|2﹣a|．

∴點Q的坐標為（a+3，5﹣a）．

∵無論a為何值，點Q的坐標（a+3，5﹣a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣x+8，

∴點Q始終在直線y=﹣x+8上運動．設直線y=﹣x+8與x軸、y軸分別交于點M、N，如圖2所示．

當x=0時y=8，當y=0時x=8．

∴OM=ON=8．

∵∠AOB=90°，

∴∠OMN=45°．

過點A關于直線MN作對稱點A′，連A′Q、A′M，則A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．

∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根據兩點之間線段最短可知：當A′、Q、B三點共線時，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值為A′B長．設直線BP與A′M相交于點H，

則BH⊥A′M．在Rt△A′HB中，∠A′HB=90，BH=OM=8，A′H=A′M﹣MH=6﹣3=3，

∴A′B= = = ．當A′、Q、B三點共線時，

∵BN∥A′M，

∴△BQN～△A′QM．根據相似三角形對應高的比等于相似比可得： ，解得xQ= ．

∴a+3= ．

∴a= ．

∴當a= 時，AQ+BQ的值最小為 ．

所以答案是：（1）（4，4）；（2） ； ．

【考點精析】利用平行線的性質和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．