Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)

如圖1，⊙O的半徑為1，點P為⊙O外一點，PO=2，在⊙O上找一點M，使得PM最長．
作法如下：作射線PO交⊙O于點M，則點M就是所求的點，此時PM=______．
請說明PM最長的理由．
（2）實踐運用
如圖2，在等邊三角形 ABC中，AB=2，以AB為斜邊作直角三角形AMB，使CM最長．
作法如下：以AB為直徑畫⊙O，作射線CO交⊙O右側(cè)于點M，則△AMB即為所求．請按上述方法用三角板和圓規(guī)畫出圖形，并求出CM的長度．
（3）拓展延伸
如圖3，在周長為m的任意形狀的△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作直角三角形AMB，直角三角形ANC，使得線段MN最長，用尺規(guī)畫出圖形，此時MN=______．（保留作圖痕跡）

Answer 1

解：（1）如圖1，PM=PO+OM=2+1=3．
在⊙O上任取一異于點M的點M′，連接OM′．
在△POM′中，∵PO+OM′＞PM′，
又∵PM=PO+OM=PO+OM′，
∴PM＞PM′；

（2）如圖2，
在直角△ACO中，∵∠AOC=90°，∠OAC=60°，OA=AB=1，
∴CO=OA=，
∴CM=CO+OM=+1；

（3）如圖3，
∵O、P分別為AB、AC的中點，
∴OA=AB，AP=AC，OP=BC，
∴OA+AP+OP=（AB+AC+BC）=m，
∴MN=MO+OP+PN=OA+OP+AP=0.5m．
故答案為3，0.5m．
分析：（1）根據(jù)PM=PO+OM即可求出PM的長；在⊙O上任取一異于點M的點M′，連接OM′，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出PM=PO+OM′＞PM′；
（2）先根據(jù)作法作出△AMB，然后在直角△ACO中利用銳角三角函數(shù)求出CO=，則CM=CO+OM=+1；
（3）先分別以AB、AC為直徑畫⊙O、⊙P，作射線PO交⊙O左側(cè)于點M，延長OP交⊙P右側(cè)于點N，此時線段MN最長；由于O、P分別為AB、AC的中點，根據(jù)三角形中位線定理即可求出MN=0.5m．
點評：本題考查了圓的綜合題，其中涉及到三角形三邊關(guān)系定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)等知識，難度中等，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．