【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn),連接OP,點(diǎn)A關(guān)于OP的對稱點(diǎn)C恰好落在⊙O上.
(1)求證:OP∥BC;
(2)過點(diǎn)C作⊙O的切線CD,交AP的延長線于點(diǎn)D.如果∠D=90°,DP=1,求⊙O的直徑.
【答案】(1)見解析;(2)⊙O的直徑AB=4.
【解析】
(1)由題意可知,根據(jù)同弧所對的圓心角相等得到∠AOP=∠AOC,再根據(jù)同弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系得出∠ABC=∠AOC,利用同位角相等兩直線平行,可得出PO與BC平行;
(2)由CD為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于CD,又AD垂直于CD,利用平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行得到OC與AD平行,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠APO=∠COP,由∠AOP=∠COP,等量代換可得出∠APO=∠AOP,再由OA=OP,利用等邊對等角可得出一對角相等,等量代換可得出三角形AOP三內(nèi)角相等,確定出三角形AOP為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角為60°得到∠AOP為60°,由OP平行于BC,利用兩直線平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°,再由OB=OC,得到三角形OBC為等邊三角形,可得出∠COB為60°,利用平角的定義得到∠POC也為60°,再加上OP=OC,可得出三角形POC為等邊三角形,得到內(nèi)角∠OCP為60°,可求出∠PCD為30°,在直角三角形PCD中,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半,而PC等于圓的半徑OP等于直徑AB的一半,可得出PD為AB的四分之一,即AB=4PD=4.
(1)證明:∵A關(guān)于OP的對稱點(diǎn)C恰好落在⊙O上.
∴
∴∠AOP=∠COP,
∴∠AOP=∠AOC,
又∵∠ABC=∠AOC,
∴∠AOP=∠ABC,
∴PO∥BC;
(2)解:連接PC,
∵CD為圓O的切線,
∴OC⊥CD,又AD⊥CD,
∴OC∥AD,
∴∠APO=∠COP,
∵∠AOP=∠COP,
∴∠APO=∠AOP,
∴OA=AP,
∵OA=OP,
∴△APO為等邊三角形,
∴∠AOP=60°,
又∵OP∥BC,
∴∠OBC=∠AOP=60°,又OC=OB,
∴△BCO為等邊三角形,
∴∠COB=60°,
∴∠POC=180°﹣(∠AOP+∠COB)=60°,又OP=OC,
∴△POC也為等邊三角形,
∴∠PCO=60°,PC=OP=OC,
又∵∠OCD=90°,
∴∠PCD=30°,
在Rt△PCD中,PD=PC,
又∵PC=OP=AB,
∴PD=AB,
∴AB=4PD=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的⊙O,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.弦CM交OA于P,連結(jié)AM,已知tan∠PCO=,PC、PM是方程x2﹣px+20=0的兩根.
(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)寫出直線CM的函數(shù)解析式;
(3)求△AMC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“宏揚(yáng)傳統(tǒng)文化,打造書香校園”活動中,學(xué)校計(jì)劃開展四項(xiàng)活動:“A﹣國學(xué)誦讀”、“B﹣演講”、“C﹣課本劇”、“D﹣書法”,要求每位同學(xué)必須且只能參加其中一項(xiàng)活動,學(xué)校為了了解學(xué)生的意愿,隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
(1)如圖,希望參加活動C占20%,希望參加活動B占15%,則被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中,希望參加活動D所占圓心角為 度,根據(jù)題中信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)學(xué),F(xiàn)有800名學(xué)生,請根據(jù)圖中信息,估算全校學(xué)生希望參加活動A有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、.
(1)經(jīng)過怎樣的平移,可使△ABC的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,并直接寫出此時點(diǎn)C 的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo);(不必畫出平移后的三角形);
(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′C′,畫出△A′B′C′;
(3)在(2)問的條件下,求線段BC掃過的圖形面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線與x 軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是且經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);②求拋物線解析式.
(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=2AB.將矩形ABCD對折,得到折痕MN;沿著CM折疊,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為E,ME與BC的交點(diǎn)為F;再沿著MP折疊,使得AM與EM重合,折痕為MP,此時點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為G.下列結(jié)論:
①△CMP是直角三角形;
②點(diǎn)C、E、G不在同一條直線上;
③PC=MP;
④BP=AB;
⑤PG=2EF.
其中一定成立的是_____(把所有正確結(jié)論的序號填在橫線上).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機(jī).如圖2,它的雙翼展開時,雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=BD=54cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA=∠BDQ=30°.當(dāng)雙翼收起時,可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為( )
A. (54+10) cm B. (54+10) cm C. 64 cm D. 54cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線的對稱軸為直線,且拋物線與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),其中,.
(1)若直線經(jīng)過、兩點(diǎn),求直線和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn),使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小,求出點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)為拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn),求使為直角三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,過點(diǎn)B有一條直線1與正方形ABCD的對角線AC所在直線相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)C、A分別作直線1的垂線段CE、AF于點(diǎn)E、F,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,連接OE、OF.
(1)如圖1,猜測OE、OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若正方形邊長為10.
①若直線1在如圖1的位置,當(dāng)時,求EG的長;
②若直線1在如圖2的位置,當(dāng)時,請直接寫出EG的長.
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