【題目】如圖, 在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,AB為⊙O的直徑.動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動,P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t,求:
(1)t分別為何值時,四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形?
(2)t分別為何值時,直線PQ與⊙O相切、相離、相交?
【答案】
(1)
解:因?yàn)锳D∥BC,
所以,只要QC=PD,則四邊形PQCD為平行四邊形,
此時有,3t=24﹣t,
解得t=6,
所以t=6秒時,四邊形PQCD為平行四邊形.
又由題意得,只要PQ=CD,PD≠Q(mào)C,四邊形PQCD為等腰梯形,
過P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點(diǎn),
則由等腰梯形的性質(zhì)可知,EF=PD,QE=FC=2,
所以3t﹣(24﹣t)=4,
解得t=7秒所以當(dāng)t=7秒時,四邊形PQCD為等腰梯形
(2)
解:設(shè)運(yùn)動t秒時,直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G,過P作PH⊥BC于點(diǎn)H,
則PH=AB=8,BH=AP,
可得HQ=26﹣3t﹣t=26﹣4t,
由切線長定理得,AP=PG,QG=BQ,
則PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26﹣3t=26﹣2t
由勾股定理得:PQ2=PH2+HQ2,即 (26﹣2t)2=82+(26﹣4t)2
化簡整理得 3t2﹣26t+16=0,
解得t1= 或 t2=8,
所以,當(dāng)t1= 或 t2=8時直線PQ與⊙O相切.
因?yàn)閠=0秒時,直線PQ與⊙O相交,
當(dāng)t= 秒時,Q點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn),P點(diǎn)尚未運(yùn)動到D點(diǎn),但也停止運(yùn)動,直線PQ也與⊙O相交,
所以可得以下結(jié)論:
當(dāng)t1= 或 t2=8秒時,直線PQ與⊙O相切;
當(dāng)0≤t< 或8<t≤ (單位秒)時,直線PQ與⊙O相交;
當(dāng) <t<8時,直線PQ與⊙O相離.
【解析】(1)若PQCD為平行四邊形,則需QC=PD,即3t=24﹣t,得t=6秒;同理只要PQ=CD,PD≠Q(mào)C,四邊形PQCD為等腰梯形,如圖,過P、D分別作BC的垂線,交BC于E、F點(diǎn),則EF=PD,QE=FC=2,即3t﹣(24﹣t)=4,解得t=7秒,問題得解.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P、Q分別在線段AD和BC上的運(yùn)動,可以統(tǒng)一到直線PQ的運(yùn)動中,要探求時間t對直線PQ與⊙O位置關(guān)系的影響,可先求出t為何值時,直線PQ與⊙O相切這一整個運(yùn)動過程中的一瞬,再結(jié)合PQ的初始與終了位置一起加以考慮,設(shè)運(yùn)動t秒時,直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G,如圖因?yàn),AB=8,AP=t,BQ=26﹣3t,所以,PQ=26﹣2t,因而,過p做PH⊥BC,得HQ=26﹣4t,于是由勾股定理,可的關(guān)于t的一元二次方程,則t可求.問題得解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的判定的相關(guān)知識,掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,以及對直角梯形的理解,了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“一號龍卷風(fēng)”給小島O造成了較大的破壞,救災(zāi)部門迅速組織力量,從倉儲D處調(diào)集救援物資,計劃先用汽車運(yùn)到與D在同一直線上的C、B、A三個碼頭中的一處,再用貨船運(yùn)到小島O.已知:OA⊥AD,∠ODA=15°,∠OCA=30°,∠OBA=45°CD=20km.若汽車行駛的速度為50km/時,貨船航行的速度為25km/時,問這批物資在哪個碼頭裝船,最早運(yùn)抵小島O?(在物資搬運(yùn)能力上每個碼頭工作效率相同,參考數(shù)據(jù): ≈1.4, ≈1.7).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.分別以頂點(diǎn)A、B為圓心,大于 AB為半徑作弧,兩弧在直線AB兩側(cè)分別交于M、N兩點(diǎn),過M、N作直線交AB于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)D,連接BD.下列結(jié)論中,錯誤的是( 。
A.直線AB是線段MN的垂直平分線
B.CD= AD
C.BD平分∠ABC
D.S△APD=S△BCD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,n+1個直角邊長為1的等腰直角三角形,斜邊在同一直線上,設(shè)△B2D1C1的面積為S1 , △B3D2C2的面積為S2 , …,△Bn+1DnCn的面積為Sn , 則S1= , Sn=(用含n的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】房山某中學(xué)改革學(xué)生的學(xué)習(xí)模式,變“老師要學(xué)生學(xué)習(xí)”為“學(xué)生自主學(xué)習(xí)”,培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.小華與小明同學(xué)就“最喜歡哪種學(xué)習(xí)方式”隨機(jī)調(diào)查了他們周圍的一些同學(xué),根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了以下的兩個統(tǒng)計圖.請根據(jù)下面兩個不完整的統(tǒng)計圖回答以下問題:
(1)這次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,估算該校1000名學(xué)生中大約有多少人選擇“小組合作學(xué)習(xí)”?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(2,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),乙每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,同時點(diǎn)E也從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間t秒(0<t<2).
①過點(diǎn)E作x軸的平行線,與BC相交于點(diǎn)D(如圖所示),當(dāng)t為何值時, 的值最小,求出這個最小值并寫出此時點(diǎn)E、P的坐標(biāo);
②在滿足①的條件下,拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F,使△EFP為直角三角形?若存在,請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,則CD的長為( )
A.
B.2
C.2
D.8
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