【題目】如圖, 在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,AB為⊙O的直徑.動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動,P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t,求:

(1)t分別為何值時,四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形?
(2)t分別為何值時,直線PQ與⊙O相切、相離、相交?

【答案】
(1)

解:因?yàn)锳D∥BC,

所以,只要QC=PD,則四邊形PQCD為平行四邊形,

此時有,3t=24﹣t,

解得t=6,

所以t=6秒時,四邊形PQCD為平行四邊形.

又由題意得,只要PQ=CD,PD≠Q(mào)C,四邊形PQCD為等腰梯形,

過P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點(diǎn),

則由等腰梯形的性質(zhì)可知,EF=PD,QE=FC=2,

所以3t﹣(24﹣t)=4,

解得t=7秒所以當(dāng)t=7秒時,四邊形PQCD為等腰梯形


(2)

解:設(shè)運(yùn)動t秒時,直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G,過P作PH⊥BC于點(diǎn)H,

則PH=AB=8,BH=AP,

可得HQ=26﹣3t﹣t=26﹣4t,

由切線長定理得,AP=PG,QG=BQ,

則PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26﹣3t=26﹣2t

由勾股定理得:PQ2=PH2+HQ2,即 (26﹣2t)2=82+(26﹣4t)2

化簡整理得 3t2﹣26t+16=0,

解得t1= 或 t2=8,

所以,當(dāng)t1= 或 t2=8時直線PQ與⊙O相切.

因?yàn)閠=0秒時,直線PQ與⊙O相交,

當(dāng)t= 秒時,Q點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn),P點(diǎn)尚未運(yùn)動到D點(diǎn),但也停止運(yùn)動,直線PQ也與⊙O相交,

所以可得以下結(jié)論:

當(dāng)t1= 或 t2=8秒時,直線PQ與⊙O相切;

當(dāng)0≤t< 或8<t≤ (單位秒)時,直線PQ與⊙O相交;

當(dāng) <t<8時,直線PQ與⊙O相離.


【解析】(1)若PQCD為平行四邊形,則需QC=PD,即3t=24﹣t,得t=6秒;同理只要PQ=CD,PD≠Q(mào)C,四邊形PQCD為等腰梯形,如圖,過P、D分別作BC的垂線,交BC于E、F點(diǎn),則EF=PD,QE=FC=2,即3t﹣(24﹣t)=4,解得t=7秒,問題得解.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P、Q分別在線段AD和BC上的運(yùn)動,可以統(tǒng)一到直線PQ的運(yùn)動中,要探求時間t對直線PQ與⊙O位置關(guān)系的影響,可先求出t為何值時,直線PQ與⊙O相切這一整個運(yùn)動過程中的一瞬,再結(jié)合PQ的初始與終了位置一起加以考慮,設(shè)運(yùn)動t秒時,直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G,如圖因?yàn),AB=8,AP=t,BQ=26﹣3t,所以,PQ=26﹣2t,因而,過p做PH⊥BC,得HQ=26﹣4t,于是由勾股定理,可的關(guān)于t的一元二次方程,則t可求.問題得解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的判定的相關(guān)知識,掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,以及對直角梯形的理解,了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形.

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①過點(diǎn)E作x軸的平行線,與BC相交于點(diǎn)D(如圖所示),當(dāng)t為何值時, 的值最小,求出這個最小值并寫出此時點(diǎn)E、P的坐標(biāo);
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