Question

如圖已知點(diǎn)A（-2，-4），B（2，0），拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，試求MO+MA的最小值，并求點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）在此拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）將點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的一般形式中求解即可；
（2）如答圖1所示，連接AC，則AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求之M點(diǎn)；已知點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，分OB∥AP、OA∥BP和AB∥OP三種情況理由圖形的定義求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-2，-4），B（2，0）、O（0，0）三點(diǎn)，
∴

4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0

解得：a=-

1

2

，b=1，c=0，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=-

1

2

x2+x（4分）

（2）由B（2，0），C（0，0），且對(duì)稱軸為x=1，
可知點(diǎn)B、C是關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)．
如答圖1所示，連接AC，交對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)M，連接MB，
則MA+MB=MA+MC=AC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)MA+MB的值最�。�
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（-2，-4），B（2，0），
∴

-2k+b=-2 2k+b=0

，解得k=1，b=-2，
∴直線AC的解析式為：y=x-2，
令x=1，得y=-1，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）．
MO+MA的最小值為4

2

．M（1，-1）；

（3）
①若OB∥AP，點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由A（-2，-4），得P（4，-4），則得梯形OAPB．

②若OA∥BP，設(shè)直線OA的表達(dá)式為y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．
設(shè)直線PB的表達(dá)式為y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4．
∴直線BP的表達(dá)式為y=2x-4
由

y=2x-4 y=- 1 2 x2+x

，
則x²+2x-8=0，
解得x=2（不合題意，舍去）或x=4
當(dāng)x=-4時(shí)，y=-12．
∴點(diǎn)P（-4，-12）．則得梯形OAPB．
③若AB∥OP，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+m，
則

-4=-2k+m 0=2k+m

，解得

k=1 m=-2

．
∴AB的表達(dá)式為y=x-2
∴直線OP的表達(dá)式為y=x．
由

y=x y=- 1 2 x2+x

，
得x²=0，即x=0（不合題意，舍去），此時(shí)點(diǎn)P不存在．
綜上所述，存在兩點(diǎn)P（4，-4）或 P（-4，-12）使得以點(diǎn) P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題以及梯形的定義與應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，屬于代數(shù)幾何綜合題，有一定的難度．第（3）問(wèn)為存在型問(wèn)題，注意P點(diǎn)不止一個(gè)，此處為易錯(cuò)點(diǎn)．