Question

【題目】△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在邊AB上，AD=AC=7，BD=BC．動點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動，同時，動點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動．當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)M、N兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)M、N運(yùn)動的時間為t秒．

（1）求cosA的值．

（2）當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝1或t＝2．

【解析】

試題（1）設(shè)BC＝4m，AC＝x，用m表示出AC和AB，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求解.

（2）分⊙O與AB相切，⊙O與AC相切和⊙O與BC相切三種情況討論即可.

（1）設(shè)BC＝4m，AC＝x，則BD＝2m，AD＝x，

∵，∴ 16＋＝. 解之得 x＝3m.

從而AB＝5m.

因此cosA＝.

（2）CM＝t，AM＝7－t，DN＝2t，AN＝7－2t，其中0≤t≤3.5，

記以MN為直徑的圓為⊙O，當(dāng)⊙O與AB相切時，則MN⊥AB，

因此，t＝2，符合題意；

當(dāng)⊙O與AC相切時，則MN⊥AC，因此，t＝－14，舍去；

當(dāng)⊙O與BC相切時，如圖，作NE⊥BC，垂足為E．取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF，則OF⊥BC，即點(diǎn)F為⊙O與BC相切的切點(diǎn)．連結(jié)MF，NF，則FM⊥FN，因此△FCM∽△NEF．

因此CM·EN＝.

而CM＝t，EN＝，EF＝FC＝EC＝，

因此，整理得，解之得 t＝1，t＝－14（舍去） .

綜上所得，當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時，t＝1或t＝2．