Question

如圖，△ABC中，∠CAB與∠CBA均為銳角，分別以CA、CB為邊向△ABC外側(cè)作正方形CADE和正方形CBFG，再作DD₁⊥直線AB于D₁，F(xiàn)F₁⊥直線AB于F₁．
（1）求證：DD₁+FF₁=AB；
（2）連接EG，問△ABC的面積與△ECG的面積是否相等？請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點C作CH⊥AB于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=AD，∠CAD=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ADD₁=∠CAH，然后利用“角角邊”證明△ADD₁和△CAH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AH=DD₁，同理可證BH=FF₁，再根據(jù)AH+BH=AB等量代換即可得證；
（2）過點B作BM⊥AC于M，過點G作GN⊥EC交EC的延長線于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CG，∠BCG=90°，再求出∠BCM=∠GCN，然后利用“角角邊”證明△BCM和△GCN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=GN，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等證明．

解答：（1）證明：如圖，過點C作CH⊥AB于H，
在正方形CADE中，AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∵DD₁⊥直線AB，
∴∠ADD₁+∠DAD₁=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，

∠ADD1=∠CAH ∠AD1D=∠AHC=90° AC=AD

，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴AH=DD₁，
同理可證BH=FF₁，
∵AH+BH=AB，
∴DD₁+FF₁=AB；

（2）解：如圖，過點B作BM⊥AC于M，過點G作GN⊥EC交EC的延長線于N，
在正方形CBFG中，BC=CG，∠BCG=90°，
∵∠BCM+∠BCN=90°，
∠BCN+∠GCN=90°，
∴∠BCM=∠GCN，
在△BCM和△GCN中，

∠BCM=∠GCN ∠BMC=∠N=90° BC=CG

，
∴△BCM≌△GCN（AAS），
∴BM=GN，
又∵AC=CE，
∴△ABC的面積與△ECG的面積相等．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．