Question

如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于點M，點N為DE的中點．

（1）若AB=4，求△DNF的周長及sin∠DAF的值；

（2）求證：2AD•NF=DE•DM．

 

 

Answer 1

（1）△DNF的周長3+；sin∠DAF=；

（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）由點E、F分別是BC、CD的中點，可求出EC=DF=2，再由勾股定理列式求出DE，然后利用三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出NF，再求出DN，再根據(jù)三角形的周長的定義列式計算即可得解；利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解；

（2）利用“邊角邊”證明△ADF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=DE，全等三角形對應角相等可得∠DAF=∠CDE，再求出AF⊥DE，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DF=EC=2NF，然后根據(jù)∠DAF和∠CDE的余弦列式整理即可得證．

試題解析：（1）∵點E、F分別是BC、CD的中點，

∴EC=DF=×4=2，

由勾股定理得，DE=，

∵點F是CD的中點，點N為DE的中點，

∴DN=DE==，

NF=EC=×2=1，

∴△DNF的周長=1++2=3+；

在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF=，

所以，sin∠DAF=；

（2）在△ADF和△DCE中，，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠DAF+∠AFD=90°，

∴∠CDE+∠AFD=90°，

∴AF⊥DE，

∵點E、F分別是BC、CD的中點，

∴NF是△CDE的中位線，

∴DF=EC=2NF，

∵cos∠DAF=，

cos∠CDE=，

∴，

∴2AD•NF=DE•DM．

考點：1、正方形的性質(zhì)；2、勾股定理；3、相似三角形的判定與性質(zhì)；4、解直角三角形