Question

（1）實(shí)際問(wèn)題：在一條筆直的高速公路l的同側(cè)有兩處旅游景點(diǎn)A、B，AB=50km，A、B到l的距離分別為10km和40km，要在高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客．
現(xiàn)有兩種設(shè)計(jì)方案：圖①是方案一的示意圖（AP與直線(xiàn)l垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S₁=PA+PB，圖②是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A’，直接寫(xiě)出S₁、S₂的值，并比較它們的大小；
（2）幾何模型：如圖③在∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，且∠AOB=45°，OP=50，在射線(xiàn)OA、OB上各找一點(diǎn)M、N，是△PMN的周長(zhǎng)最小
請(qǐng)你說(shuō)出做法、畫(huà)出草圖：并求出周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

解：（1）

圖①中過(guò)B作BC⊥l于C，垂足為C；AD⊥BC于D，垂足為D，
則BC=40，
又∵AP=10，
∴BD=BC-CD=40-10=30．
在△ABD中，AD==40，
在Rt△PBC中，
∴BP==40，
S₁=40+10．
圖②中，過(guò)B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C=50，
又∵BC=40，
∴BA'==10，
由軸對(duì)稱(chēng)知：PA=PA'，
∴S₂=BA'=10，
∴S₁＞S₂．
（2）

作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P''，連接P'P''，與OA交于點(diǎn)M，與OB交于點(diǎn)N，則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，
因?yàn)镻M=MP'，PN=NP''，故可得△PMN的周長(zhǎng)為線(xiàn)段P'P''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得此時(shí)的周長(zhǎng)最短．
連接OP'、OP''，則可得OP'=OP''=OP=50，∠P'OP''=90°，
故可得P'P''=50．
分析：（1）根據(jù)勾股定理分別求得S₁、S₂的值，比較即可；
（2）作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P''，連接P'P''，與OA交于點(diǎn)M，與OB交于點(diǎn)N，則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路徑的知識(shí)，確定動(dòng)點(diǎn)為何位置是關(guān)鍵，綜合考察了勾股定理的知識(shí)，難度一般．