Question

高高的路燈掛在路邊的上方，高傲而明亮，小明拿著一根2米長的竹竿，想量一量路燈的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路燈旁的一個地方，豎起竹竿（即AE），這時，他量了一下竹竿的影長（AC）正好是1米，他沿著影子的方向走，向遠處走出兩根竹竿的長度（即AB=4米），他又豎起竹竿，這時竹竿的影長正好是一根竹竿的長度（即BD=2米）．此時，小明抬頭瞧瞧路燈，若有所思地說：“噢，我知道路燈有多高了！”同學們，請你和小明一起解答這個問題：
（1）在圖中作出路燈O的位置，并作OP⊥l于P．
（2）求出路燈O的高度，并說明理由．

Answer 1

解：（1）

（2）由于BF=DB=2（米），即∠D=45°，
所以，DP=OP=燈高，
△COP中AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP
∴△CEA∽△COP，即，
設AP=x，OP=h則：
①，
DP=OP表達為2+4+x=h②，
聯立①②兩式得：
x=4，h=10，
∴路燈有10米高．
分析：（1）連接DF并延長與CE的延長線交與一點即可得到路燈的位置；
（2）先根據竹竿和影長之間的數量關系求得∠D=45°，∠POC=30°，找到DC與燈高之間的數量關系CD=OP，根據線段之間是和差關系得到DC=DB+BA-CA，代入對應數據即可求出CD長為5米，從而求出燈高．
點評：有關中心投影的題目，可利用直角三角形和相似三角形的性質求解．本題中主要是利用了含特殊角30度，45度的直角三角形的特殊性質來求得相關線段之間的數量關系來求燈高．要知道含45度角的直角三角形的兩條直角邊相等，含30度角的直角三角形的短直角邊等于斜邊的一半．