Question

（1）如圖1，若⊙O₁與⊙O₂外切于A，BC是⊙O₁與⊙O₂外公切線，B、C為切點，求證：AB⊥AC．
（2）如圖2，若⊙O₁與⊙O₂外離，BC是⊙O₁與⊙O₂的外公切線，B、C為切點，連心線O₁O₂分別交⊙O₁、⊙O₂于M、N，BM、CN的延長線交于P，則BP與CP是否垂直？證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，若⊙O₁與⊙O₂相交，BC是⊙O₁與⊙O₂的公切線，B、C為切點，連心線O₁O₂分別交⊙O₁、⊙O₂于M、N，Q是線段MN上一點，連接BQ、CQ，則BQ與CQ是否垂直？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接O₁B，O₂C，根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到∠O₁BC=∠O₂CB=90°，再用△O₁AB，△O₂AC的內(nèi)角和是180°進行證明．
（2）連接O₁B，O₂C，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠O₁BC=∠O₂CB=90°，再用三角形的內(nèi)角和以及對頂角的性質(zhì)進行證明．
（3）連接O₁B，O₂C，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠O₁BC=∠O₂CB=90°，然后用三角形中大邊對大角以及三角形的內(nèi)角和定理進行證明．
解答：（1）證明：如圖1，連接O₁A，O₂C，
∵BC是兩圓的外公切線，
∴∠O₁BC=∠O₂CB=90°，
∴O₁B∥O₂C，
∴∠O₁+∠O₂=180°，
∵∠O₁AB=∠O₁BA=（180°-∠O₁）=90°-∠O₁=90°-∠ABC，
∴∠ABC=∠O₁，
同理：∠ACB=∠O₂，
∴∠ABC+∠ACB=（∠O₁+∠O₂）=90°，
∴∠BAC=90°．
∴AB⊥AC；

（2）解：BP⊥CP．
證明：如圖2，連接O₁B，O₂C，
∵BC是兩圓的外公切線，
∴∠O₁BC=∠O₂CB=90°，
∴O₁B∥O₂C，
∴∠O₁+∠O₂=180°．
∠O₁BM=∠O₁MB=（180°-∠O₁）=90°-∠O₁=90°-∠PBC，
∴∠PBC=∠O₁，
同理：∠PCB=∠O₂，
∴∠PBC+∠PCB=（∠O₁+∠O₂）=90°，
∴∠BPC=90°，
∴BP⊥CP；

（3）解：BQ與CQ不垂直．
證明：如圖3，連接O₁B，O₂C，
∵BC是兩圓的外公切線，
∴∠O₁BC=∠O₂CB=90°，
∴O₁B∥O₂C，
∴∠O₁+∠O₂=180°．
∵O₁B＞O₁Q，
∴∠O₁QB＞∠O₁BQ，
同理：∠O₂QC＞∠O₂CQ，
∴∠O₁QB+∠O₂QC＞∠O₁BQ+∠O₂CQ，
∴∠O₁QB+∠O₂QC＞90°，
∴∠BQC＜90°
∴BQ與CQ不垂直．
點評：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，（1）中兩圓是外切的，AB是兩圓的公切線，根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理進行證明．（2）中兩圓是外離的，仍然可以用切線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進行證明．（3）中兩圓是相交的，先用切線的性質(zhì)得到90°的角，然后在三角形中用大邊對大角以及三角形的內(nèi)角和證明兩直線不垂直．