【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+ 與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C,點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.

(1)求拋物線的解析式,并直接寫出點D的坐標;
(2)如圖1,點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿A→B勻速運動,到達點B時停止運動.以AP為邊作等邊△APQ(點Q在x軸上方).設(shè)點P在運動過程中,△APQ與四邊形AOCD重疊部分的面積為S,點P的運動時間為t秒,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖2,連接AC,在第二象限內(nèi)存在點M,使得以M、O、A為頂點的三角形與△AOC相似.請直接寫出所有符合條件的點M坐標.

【答案】
(1)解:∵拋物線y=ax2+bx+ 經(jīng)過A(﹣3,0),B(1,0)兩點,

,

解得

∴拋物線解析式為y=﹣ x2 x+ ;

則D點坐標為(﹣2,


(2)解:∵點D與A橫坐標相差1,縱坐標之差為 ,則tan∠DAP= ,

∴∠DAP=60°,

又∵△APQ為等邊三角形,

∴點Q始終在直線AD上運動,當點Q與D重合時,由等邊三角形的性質(zhì)可知:AP=AD=

①當0≤t≤2時,P在線段AO上,此時△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積.

AP=t,

∵∠QAP=60°,

∴點Q的縱坐標為tsin60°= t,

∴S= × t×t= t2

②當2<t≤3時,如圖:

此時點Q在AD的延長線上,點P在OA上,

設(shè)QP與DC交于點H,

∵DC∥AP,

∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°,

∴△QDH是等邊三角形,

∴S=SQAP﹣SQDH,

∵QA=t,

∴SQAP= t2

∵QD=t﹣2,

∴SQDH= (t﹣2)2

∴S= t2 (t﹣2)2=

③當3<t≤4時,如圖:

此時點Q在AD的延長線上,點P在線段OB上,

設(shè)QP與DC交于點E,與OC交于點F,過點Q作AP的垂涎,垂足為G,

∵OP=t﹣3,∠FPO=60°,

∴OF=OPtan60°= t﹣3),

∴S△FOP= × (t﹣3)(t﹣3)= (t﹣3)2

∵S=SQAP﹣SQDE﹣SFOP,SQAP﹣SQDE= t﹣

∴S= t﹣ (t﹣3)2= t2+4 t﹣

綜上所述,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為


(3)解:∵OC= ,OA=3,OA⊥OC,則△OAC是含30°的直角三角形.

①當△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時;如圖,過點M2作AO的垂線,垂足為N,

∵∠M2AO=30°,AO=3,

∴M2O= ,

又∵∠OM2N=M2AO=30°,

∴ON= OM2= ,M2N= ON ,

∴M2的坐標為(﹣ ).

同理可得M1的坐標為(﹣ , ).

②當△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時;如圖:

∵以M、O、A為頂點的三角形與△OAC相似,

,或 =

∵OA=3,

∴AM= 或AM=

∵AM⊥OA,且點M在第二象限,

∴點M的坐標為(﹣3, )或(﹣3,3 ).

綜上所述,符合條件的點M的所有可能的坐標為(﹣3, ),(﹣3,3 ),( , ,(﹣ , ).


【解析】(1)把A、B兩點的坐標代入拋物線解析式,求出拋物線的解析式,由拋物線與y軸交于點C,點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,由頂點式得到D點坐標;(2)由點D與A橫坐標相差1,縱坐標之差為 3 ,得到tan∠DAP= 3 ,∠DAP=60°,又△APQ為等邊三角形,得到點Q始終在直線AD上運動,當點Q與D重合時,由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出:AP=AD的值;①當0≤t≤2時,P在線段AO上,此時△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積;②當2<t≤3時,此時點Q在AD的延長線上,點P在線段OB上,根據(jù)已知條件和三角形的面積公式,得到S與t之間的三種函數(shù)關(guān)系式;(3)根據(jù)已知可得△OAC是含30°的直角三角形,①當△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時,根據(jù)在直角三角形中,30度角所對的邊是斜邊的一半,求出M2的坐標,同理可得M1的坐標;②當△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時,以M、O、A為頂點的三角形與△OAC相似,得到比例,求出AM的值,得到點M的坐標;此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認真仔細.

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A

B

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1200

1000

售價(/)

1380

1200

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