Question

（2010•資陽）如圖，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=3，AD=1，BC=6，∠A=∠B=90°．設動點P、Q、R在梯形的邊上，始終構成以P為直角頂點的等腰直角三角形，且△PQR的一邊與梯形ABCD的兩底平行．
（1）當點P在AB邊上時，在圖中畫出一個符合條件的△PQR （不必說明畫法）；
（2）當點P在BC邊或CD邊上時，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，就可以畫出一個符合條件的三角形．
（2）分兩種情況進行討論，當P在CD邊上時，由題意，PR∥BC，設PR=x．可證四邊形PRBQ是正方形，由條件證明△CPQ∽△CDE，可以求出PR的值，再解直角三角形就可以求出BP的值；當P在BC邊上，依題意可知RQ∥BC．，過Q作QF⊥BC，易證△BRP≌△FQP，則PB=PF．易證四邊形BFQR是矩形，可以證明△CQF∽△CDE，從而得出結論．

解答：解：（1）如圖△PQR是符合條件的三角形．
 
（2）①當P在CD邊上時，由題意，PR∥BC，設PR=x．可證四邊形PRBQ是正方形，
∴PR=PQ=BQ=x．
過D點作DE∥AB，交BC于E，易證四邊形ABED是矩形．
∴AD=BE=1，AB=DE=3．又 PQ∥DE，
∴△CPQ∽△CDE，∴

PQ

DE

=

CQ

CE

．
∴

x

3

=

6-x

5

，

∴x=

9

4

，即BP=

9

4

2

．
②當P在BC邊上，依題意可知RQ∥BC．
過Q作QF⊥BC，易證△BRP≌△FQP，則PB=PF．
易證四邊形BFQR是矩形，
設BP=x，則BP=BR=QF=PF=x，BF=RQ=2x．
∵QF∥DE，
∴△CQF∽△CDE，
∴

QF

DE

=

CF

CE

，
∴

x

3

=

6-2x

5

，
∴x=

18

11

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)及矩形和正方形的性質(zhì)的運用．