Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙C的圓心坐標(biāo)為（－2，－2），半徑為．函數(shù)y＝－x＋2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)

（1）連接CO，求證：CO⊥AB；

（2）若△POA是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，求∠POA的度數(shù)；當(dāng)直線PO與⊙C相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E、F，點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，令PO＝t，MO＝s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）證明略

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2)或(1，1)或(2－，)

（3）s＝．(≤t≤)

【解析】（1）延長(zhǎng)CO交AB于D，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G．

∵直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y＝－x＋2，∴易得A(2，0)，B(0，2)，∴AO＝BO＝2．

又∵∠AOB＝90°，∴∠DAO＝45°．

∵C(－2，－2)，∴CG＝OG＝2，∴∠COG＝45°，∠AOD＝45°，∴∠ODA＝90°．

∴OD⊥AB，即CO⊥AB．

（2）要使△POA為等腰三角形．

①當(dāng)OP＝OA時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2)；

②當(dāng)OP＝PA時(shí)，由∠OAB＝45°，所以點(diǎn)P恰好是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)；

③當(dāng)AP＝AO時(shí)，則AP＝2，過點(diǎn)作PH⊥OA交OA于點(diǎn)H，

在Rt△APH中，易得PH＝AH＝，∴OH＝2－，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2－，)．

∴若△POA為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2)或(1，1)或(2－，)．

（3）當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為K，連接CK，則CK⊥OK．

由點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，－2)，易得CO＝．∴∠POD＝30°，

又∠AOD＝45°，∴∠POA＝75°，同理可求得∠POA的另一個(gè)值為15°．

∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴CM⊥EF，

又∵∠COM＝∠POD，CO⊥AB，∴△COM∽△POD，所以，即MO·PO＝CO·DO．

∵PO＝t，MO＝s，CO＝，DO＝，∴st＝4．

但PO過圓心C時(shí)，MO＝CO＝，PO＝DO＝，即MO·PO＝4，也滿足st＝4．

∴s＝．(≤t≤)．