Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（m-3）x-2m+3=0．
（1）若m是整數(shù)，且方程的兩個(gè)根為整數(shù)，求m的值．
（2）已知一次函數(shù)y₁=6x-6．若二次函數(shù)y₂=mx²-（m-3）x-2m+3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．是否存在二次函數(shù)y₃=ax²+bx+c，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，8），且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁，y₂，y₃都有y₁≤y₃≤y₂成立？若存在，求二次函數(shù)y₃=ax²+bx+c的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,配方法

分析：（1）用公式法求出方程的根為x₁=2-

3

m

，x₂=-1．要使方程的兩個(gè)根為整數(shù)，只需m是3的因數(shù)即可．
（2）由題易得y₂=3x²-3，然后運(yùn)用配方法可得y₁≤y₂，易知y₁、y₂的圖象都經(jīng)過（1，0）．由對(duì)應(yīng)x的同一個(gè)值，y₁≤y₃≤y₂成立可得y₃=ax²+bx+c的圖象也必經(jīng)過（1，0），結(jié)合條件y₃=ax²+bx+c經(jīng)過（2，8）可得

b=8-3a c=2a-8

，則y₃=ax²+（8-3a）x+2a-8．設(shè)y=y₃-y₂，可得y=（a-3）x²+（8-3a）x+2a-5，由題可知y≤0恒成立，則有a-3＜0，且（8-3a）²-4（a-3）（2a-5）=（a-2）²≤0，就可得到a=2，此時(shí)y₃=2x²+2x-4，通過驗(yàn)證可得y₃=2x²+2x-4就是所求二次函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵[-（m-3）]²-4m（-2m+3）=9m²-18m+9=（3m-3）²，
∴x₁=

m-3+(3m-3)

2m

=2-

3

m

，x₂=

m-3-(3m-3)

2m

=-1．
∵m是整數(shù)，且方程的兩個(gè)根為整數(shù)，
∴m的值為3，-3，1，-1．

（2）∵二次函數(shù)y₂=mx²-（m-3）x-2m+3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴m-3=0即m=3．
∴拋物線的解析式為：y₂=3x²-3．
∵y₁-y₂=（6x-6）-（3x²-3）=-3x²+6x-3=-3（x-1）²≤0，
∴y₁≤y₂（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立）．
∵當(dāng)x=1時(shí)，y₁=y₂=0，
∴y₁、y₂的圖象都經(jīng)過（1，0）．
∵對(duì)應(yīng)x的同一個(gè)值，y₁≤y₃≤y₂成立，
∴y₃=ax²+bx+c的圖象也必過點(diǎn)（1，0），
又∵y₃=ax²+bx+c經(jīng)過（2，8），
∴

a+b+c=0 4a+2b+c=8

，
∴

b=8-3a c=2a-8

，
∴y₃=ax²+（8-3a）x+2a-8．
設(shè)y=y₃-y₂=ax²+（8-3a）x+2a-8-（3x²-3）
=ax²+（8-3a）x+2a-8-3x²+3
=（a-3）x²+（8-3a）x+2a-5
∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x的同一個(gè)值，都有y₃≤y₂即y≤0成立，
∴y=（a-3）x²+（8-3a）x+2a-5≤0恒成立，
∴a-3＜0，且（8-3a）²-4（a-3）（2a-5）=（a-2）²≤0，
∴a＜3，且（a-2）²=0．
∴a=2．
此時(shí)y₃=2x²+2x-4．
又∵y₃-y₁=2x²+2x-4-（6x-6）=2x²-4x+2=2（a-1）²≥0，
∴y₃≥y₁恒成立，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y₃=2x²+2x-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用公式法解一元二次方程、一元二次方程整數(shù)根、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的函數(shù)值恒為非正數(shù)的條件（二次項(xiàng)系數(shù)小于0，且△≤0）等知識(shí)，運(yùn)用公式法求出方程的根是解決第（1）小題的關(guān)鍵；運(yùn)用配方法則是解決第（2）小題的關(guān)鍵．