Question

拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，在其對稱軸上有點P，當PA+PC取最小值時，P點坐標為

 

．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：由兩點之間線段最短可知當P點在線段AC上就可使PA+PC的值最小，再由P點要在對稱軸上，可知P點應為線段AC與對稱軸直線x=-1的交點，由（1）中求出的C點坐標即可得出拋物線的表達式，故可求出A、B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，把x=-1代入即可求出P點坐標；

解答：解：如圖，∵兩點之間線段最短，
∴當P點在線段BC上就可使PA+PC的值最�。�
又∵P點要在對稱軸上，
∴P點應為線段BC與對稱軸的交點，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴對稱軸x=1，
由拋物線的表達式為：y=x^2-2x-3．
∴C（0，-3），
令y=0，則x²-2x-3=0．
解得：x₁=3，x₂=-1．
∴點A、B的坐標分別是A（-1，0）、B（3，0），
設直線BC的表達式為y=kx+b，則

3k+b=0 b=-3

解得 

k=1 b=-3

∴直線BC的表達式為y=x-3，
當x=1時，y=1×1-3=-2．
∴此時點P的坐標為（1，-2）；
故答案為（1，-2）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，軸對稱--最短路線問題，找到P點是本題的關鍵．