Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動(dòng)點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)O，B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求出當(dāng)t=1秒時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△MPA的面積為1.5；
（3）當(dāng)△MPA為等腰三角形時(shí)，求出此時(shí)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）由A、B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3）可以求出OA=4，AB=3，BC=4，由四邊形OABC為矩形可以得出tan∠ACB=

3

4

，t=1就可以求出NB的值，就可以求出CN和NP的值，從而求出P的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形的面積公式可以得出S_△MPA=

1

2

AM•EP建立方程求出其解即可；
（3）分三種情況討論如圖2，如圖3，如圖4，分別當(dāng)PA=PM，AP=AM，MP=MA時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)求出其值即可．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為矩形，
∴∠ABC=∠AOC=90°，OA=BC，AB=OC．
∵A、B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），
∴OA=BC=4，AB=OC=3．
∴tan∠ACB=tan∠OAC=

PN

CN

=

3

4

．
當(dāng)t=1時(shí)，BN=1，
∴CN=3，
∴

PN

3

=

3

4

，
∴PN=

9

4

，
∴P（3，

3

4

）；

（2）∵AM=4-t，PE=

3

4

t，
∴

1

2

（4-t）•

3

4

t=1.5，
∴t=2；

（3）延長NP交OA于點(diǎn)E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
如圖2，當(dāng)PM=PA時(shí)，
∴AE=ME=NP．
∵OM=NP，
∴OM=ME=AE，
∴OM=

1

3

OA，
∴OM=

4

3

，
∴t=

4

3

÷1=

4

3

秒；
如圖3，當(dāng)AP=AM時(shí)，
∴PE=

3

4

t，
在Rt△APE中，由勾股定理得：
PA=

5

4

t，
AM=4-t，
∴

5

4

t=4-t，
解得：t=

16

9

；
如圖4，當(dāng)PM=AM時(shí)，
PE=

3

4

t，OE=4-t，OM=t，AM=4-t
∴ME=2t-4，在Rt△PEM中，由勾股定理，得
PM²=（2t-4）²+（

3

4

t）²，
∴，（2t-4）²+（

3

4

t）²=（4-t）²，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

128

57

，
綜上所述：當(dāng)t=

4

3

，

16

9

或

128

57

時(shí)，△MPA為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道幾何動(dòng)點(diǎn)問題，考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，路程=速度×?xí)r間的關(guān)系的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程求解是關(guān)鍵．