Question

已知二次函數(shù)的圖象開口向上且不過原點0，頂點坐標(biāo)為（1，-2），與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，且滿足關(guān)系式OC²=OA•OB．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）已知頂點坐標(biāo)為（1，-2），可設(shè)頂點式為y=a（x-1）²-2=ax²-2ax+a-2，設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），則x₁x₂=

a-2

a

，C（0，a-2），由OC²=OA•OB，將相應(yīng)點的坐標(biāo)代入，列方程求a，即可求二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式及AB=|x₁-x₂|，利用求根公式求AB，點C到線段AB的距離為高，可求△ABC的面積．

解答：解：（1）∵拋物線頂點坐標(biāo)為（1，-2），
設(shè)頂點式為y=a（x-1）²-2=ax²-2ax+a-2，A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁x₂=

a-2

a

，C（0，a-2），
由OC²=OA•OB，得（a-2）²=|x₁x₂|=|

a-2

a

|，即a³-4a²+4a=|a-2|，
當(dāng)0＜a＜2時，有a³-4a²+5a-2=0
即（a-1）²（a-2）=0，
解得a₁=1或a₂=2（舍去）
由a=1得y=x²-2x-1；
當(dāng)a＞2時，有a³-4a²+3a+2=0
即（a-2）（a²-2a-1）=0
解得a₁=2（舍去），a₂=1+

2

，a₃=1-

2

（舍去），
故a=1+

2

，y=（1+

2

）x²-（2+2

2

）x+

2

-1，
故 所求二次函數(shù)解析式為：y=x²-2x-1或y=（1+

2

）x²-（2+2

2

）x+

2

-1；
（2）由S_△ABC=|AB|•|OC|，有兩種情況：
①當(dāng)y=x²-2x-1時，
|AB|=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

2

，
又|OC|=1，故S_△ABC=

1

2

×2

2

×1=

2

；
②當(dāng)y=（1+

2

）x²-（2+2

2

）x+

2

-1時，
|AB|=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

2( 2 -1)

，
又|OC|=

2

-1，則
S_△ABC=

1

2

×2

2( 2 -1)

×（

2

-1）=（

2

-1）

2( 2 -1)

．
故所求△ABC的面積為（

2

-1）

2( 2 -1)

或

2

．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法．關(guān)鍵是根據(jù)條件確定拋物線解析式的形式，再求其中的待定系數(shù)．一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；頂點式y(tǒng)=a（x-h）²+k，其中頂點坐標(biāo)為（h，k）；交點式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂），拋物線與x軸兩交點為（x₁，0），（x₂，0）．