(2002•呼和浩特)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O’的坐標(biāo)為(2,0),OO’與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A,B、C、E三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(0,3)和(0,p),且0<p≤3.
(1)求經(jīng)過點(diǎn)B、C的直線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上移動(dòng)時(shí),直線BE與⊙O'有哪幾種位置關(guān)系?當(dāng)P分別在什么范圍內(nèi)取值時(shí),直線BE與⊙O'是這幾種位置關(guān)系?
(3)設(shè)過點(diǎn)A、B、E的拋物線的頂點(diǎn)是D,求四邊形ABED的面積的最大或最小值.

【答案】分析:(1)已知了B、C的坐標(biāo),可利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式.
(2)直線與圓的位置關(guān)系有三種:相切、相交、相離,此題可先求出相切時(shí)p的值,然后再分段討論其他兩種情況;當(dāng)直線BE與⊙O′相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為M,連接O′M,在Rt△BO′M中,BO′=3,O′M=2,利用勾股定理可求得BM的長,進(jìn)而由△BOE∽△BMO′得到的比例線段求出OE的長,也就求出了此時(shí)p的值,進(jìn)而可得到相交和相離時(shí),p的取值范圍.
(3)根據(jù)圓心O′的坐標(biāo)及圓的半徑可求得A點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)A、B、E三點(diǎn)坐標(biāo),表示出該拋物線的解析式(含p的式子),然后將所得關(guān)系式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式,即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo);由于四邊形ABED的面積無法直接求得,可連接OD,將其面積分割成△BOE、△OED、△ODA三部分,可分別求出各部分的面積,進(jìn)而可得到四邊形ABED的面積表達(dá)式,然后利用p的取值范圍,可求出它的最大(。┟娣e.
解答:解:(1)設(shè)B、C點(diǎn)所在直線為:y=kx+b,則有:
?;
∴所求直線為y=3x+3.

(2)直線BE與⊙O′有相離、相切、相交三種位置關(guān)系;
設(shè)BE切⊙O′于點(diǎn)M,連接O′M,必有∠O′MB=90°,
y軸為過O′O端點(diǎn)O和O′O垂直的直線;
∴當(dāng)0<p<時(shí),BE與⊙O′相交;
p=時(shí)相切;<p≤3時(shí)相離.

(3)點(diǎn)A坐標(biāo)(4,0),設(shè)過A、B、E點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c,有:


∴拋物線解析式為y=-x2+px+p=-(x-2+;
∴頂點(diǎn)D(,);
連接OD,則SABED=S△BOE+S△OED+S△ODA
=×1×p+×p×+×4×=;
∵0<p≤3,
∴p=3時(shí),SABED有最大值為
點(diǎn)評(píng):此題考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、圖形面積的求法、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí),難度適中.
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A.2
B.3
C.4
D.6

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