Question

如圖，點P的坐標為(2，

3

2

)，過點P作x軸的平行線交y軸于點A，交雙曲線y=

k

x

(x＞0)于點N，作PM⊥AN交雙曲線y=

k

x

(x＞0)于點M，連接AM、MN，已知PN=4．
（1）求k的值．
（2）求△APM的面積．
（3）試判斷△APM與△AMN是否相似，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）過N作NB垂直于x軸，垂足為B，由P的坐標得到AP的長，根據(jù)AP+PN=AN，求出AN的長，即為N的橫坐標，又AN與想軸平行，得到N與P的縱坐標相等，由P的縱坐標得到N的縱坐標，確定出點N的坐標，將N的坐標代入雙曲線解析式即可求出k的值；
（2）要求三角形APM的面積，由題意可知三角形APM為直角三角形，只需求出直角邊PM和AP即可求出．AP為P的坐標的值，顯然得出，PM為M的縱坐標減去P的縱坐標，延長MP與x軸交于Q點，由PM與AN垂直，得到MQ垂直于x軸，故得到M與P的橫坐標相等，由P的橫坐標得到M的橫坐標，代入反比例解析式求出縱坐標，得到MQ的長，進而求出MP的長，利用直角邊乘積的一半即可求出三角形APM的面積；
（3）不相似，理由為：由題意可知三角形APM為直角三角形，根據(jù)（2）求出的AP及MP的長，利用勾股定理求出AM的長，再由三角形PMN為直角三角形，由MP與PN的長，利用勾股定理求出MN的長，根據(jù)MN²+AM²≠AN²，得到三角形AMN不是直角三角形，故兩三角形不可能相似．

解答：解：（1）過N作NB⊥x軸，交x軸于點B，
∵AN∥x軸，∴P與N縱坐標相等，
又AP=2，PN=4，∴AN=AP+PN=2+4=6，
∵P(2，

3

2

)，
∴N點坐標為（6，

3

2

），
把N代入解析式y(tǒng)=

k

x

中，得k=

3

2

×6=9；

（2）延長MP，延長線與x軸交于Q點，
∵PM⊥AN，AN∥x軸，
∴MQ⊥x軸，
∴P和Q的橫坐標相等，即Q的橫坐標為2，
把x=2代入反比例解析式y(tǒng)=

9

x

中得：y=

9

2

，
則MP=MQ-PQ=

9

2

-

3

2

=3，又AP=2，
∴S_△APM=

1

2

MP•AP=

1

2

×3×2=3；

（3）不相似，理由為：
∵△APM為直角三角形，AP=2，MP=3，
根據(jù)勾股定理得：AM=

AP2+MP2

=

13

，
又△PMN為直角三角形，PM=3，PN=4，
根據(jù)勾股定理得：MN=

PM2+PN2

=5，
∵MN²+AM²≠AN²，即∠AMN≠90°，
∴△AMN不是直角三角形，而△APM為直角三角形，
則△APM與△AMN不相似．

點評：此題屬于反比例綜合題，涉及的知識有：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，點坐標的求法，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，勾股定理及逆定理，三角形面積的求法，以及相似三角形的判定，根據(jù)題意作出輔助線NB⊥x軸及延長線MP的延長線PQ是解本題的關(guān)鍵．