Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點(diǎn)，連接AE、BD交于點(diǎn)F，AE=AB．
（1）若∠AEB=2∠ADB，求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）若AB=10，BE=2EC，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，故∠ADB=∠DBC．再由AE=AB得出∠ABE=∠AEB．根據(jù)∠AEB=2∠ADB，可知∠ABE=2∠DBC．由此可得出AD=AB，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△AFD∽△EFB，故

AD

BE

=

AF

EF

．由AD=BC，BE=2EC可知

AD

BE

=

AF

EF

=

3

2

，由AE=AB=10即可得出EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC．
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB．
∵∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠DBC．
∵∠ABE=∠ABD+∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴△AFD∽△EFB，
∴

AD

BE

=

AF

EF

．
∵AD=BC，BE=2EC，
∴

AD

BE

=

AF

EF

=

3

2

．
∵AE=AB=10，
∴

10-EF

EF

=

3

2

，
∴EF=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定定理及平行四邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．