Question

如圖，用鄰邊長為a，b（a＜b）的矩形硬紙板截出以a為直徑的兩個(gè)半圓，再截出與矩形的較長邊、兩個(gè)半圓均相切的兩個(gè)小圓，把半圓作為圓錐形圣誕帽的側(cè)面，小圓恰好能作為底面，從而做成兩個(gè)圣誕帽（拼接處材料忽略不計(jì)），則a與b關(guān)系式是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算,相切兩圓的性質(zhì)

專題：

分析：首先利用圓錐形圣誕帽的底面周長等于側(cè)面的弧長求得小圓的半徑，然后利用兩圓外切的性質(zhì)求得a、b之間的關(guān)系即可．

解答：解：∵半圓的直徑為a，
∴半圓的弧長為

πa

2

，
∵把半圓作為圓錐形圣誕帽的側(cè)面，小圓恰好能作為底面，
∴設(shè)小圓的半徑為r，則：2πr=

πa

2

，
解得：r=

a

4

，
∴AC=

1

2

a-r=

a

4

，
如圖小圓的圓心為B，半圓的圓心為C，作BA⊥CA于A點(diǎn)，
則：AC²+AB²=BC²
即：（

a

4

）²+（

b

2

）²=（

a

2

+

a

4

）²
整理得：b=

2

a
故答案為：b=

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用兩圓相外切的性質(zhì)得到兩圓的圓心距，從而利用勾股定理得到a、b之間的關(guān)系．