Question

如圖，矩形ABCG中，點D是AG的中點，點E是AB上一點，且BE=BC，DE⊥DC，CE交BD于F．
（1）求證：DB=DC；
（2）求證：BD平分∠CDE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）易證GD=AD，即可證明△CDG≌△BDA，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；
（2）延長ED，CG交于點H，易證△DGH≌△DAE，可得DE=DH，即可求得CD垂直平分HE，可得∠DCE=22.5°，即可求得∠BDC的值，即可解題．

解答：證明：（1）∵點D是AG的中點，
∴GD=AD，
在△CDG和△BDA中，

CG=AB ∠CGD=∠BAD=90° GD=AD

，
∴△CDG≌△BDA（SAS），
∴BD=CD；
（2）延長ED，CG交于點H，

在△DGH和△DAE中，

∠HGD=∠EAD=90° DG=DA ∠GDH=∠ADE

，
∴△DGH≌△DAE（ASA），
∴DE=DH，
∵DE⊥CD，
∴CD垂直平分HE，
∴∠DCG=∠DCE，
∵BE=BC，
∴∠BCE=45°，
∴∠DCE=22.5°，
∴∠BCD=45°+22.5°=67.5°，
∵CD=BD，
∴∠BCD=∠CBD，
∴∠BDC=180°-2∠BCD=45°，
∴BD平分∠CDE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，本題中求證△CDG≌△BDA和△DGH≌△DAE是解題的關(guān)鍵．