Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊腰長(zhǎng)為的等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，-2），直角頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上（如圖所示），拋物線(xiàn)y=ax²+ax+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（2）求拋物線(xiàn)的解析式；
（3）在拋物線(xiàn)上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）作BD⊥x軸于D，如圖，
∵AC=，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
∴OC==1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠DCB+∠ACO=90°，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠ACO，
∴Rt△DBC≌Rt△OCA，
∴DC=OA=2，DB=OC=1，
∴OD=OC+CD=1+2=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）；
故答案為（-1，0），（-3，-1）；
（2）把B（-3，-1）代入y=ax²+ax+2得（-3）²a-3a+2=-1，解得a=-，
拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²-x+2；
（3）存在．理由如下：
①過(guò)A點(diǎn)作P₁A⊥AC，且AP₁=AC=，則△ACP₁為等腰直角三角形，再作P₁E⊥y軸于E，如圖，
與（1）一樣可證得Rt△EAP₁≌Rt△OCA，
∴P₁E=OA=2，AE=OC=1，
∴OE=OA-AE=2-1=1，
∴P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1），
當(dāng)x=2時(shí)，y=-x²-x+2=-×2²-×2+2=-1，
∴P₁點(diǎn)在拋物線(xiàn)上；
②過(guò)C點(diǎn)作P₂C⊥CA，且CP₂=AC=，則△ACP₂為等腰直角三角形，再作P₂F⊥x軸于F，如圖，
與（1）一樣可證得Rt△FCP₂≌Rt△OCA，
∴P₂F=OC=1，CF=OA=2，
∴OF=CF-OC=2-1=1，
∴P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x²-x+2=-×1²-×1+2=1，
∴P₂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，
∴在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形．滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）、（1，1）．
分析：（1）作BD⊥x軸于D，由于AC=，AO=2，利用勾股定理可計(jì)算出OC=1，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ACB=90°，BC=AC，根據(jù)等角的余角相等得到∠DBC=∠ACO，根據(jù)三角形全等的判定方法可證得Rt△DBC≌Rt△OCA，則DC=OA=2，DB=OC=1，OD=OC+CD=1+2=3，于是得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）；
（2）由于拋物線(xiàn)y=ax²+ax+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，把B（-3，-1）代入可求出a的值，即可得到拋物線(xiàn)的解析式；
（3）由于要以AC為直角邊得到等腰直角三角形，則①過(guò)A點(diǎn)作P₁A⊥AC，且AP₁=AC=，△ACP₁為等腰直角三角形；②過(guò)C點(diǎn)作P₂C⊥CA，且CP₂=AC=，△ACP₂為等腰直角三角形，然后利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定P₁與P₂的坐標(biāo)，再分別把它們代入拋物線(xiàn)的解析式來(lái)確定是否在拋物線(xiàn)上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線(xiàn)，其頂點(diǎn)式為y=a（x-）²+，當(dāng)a＞0，y_最小值=；當(dāng)a＜0，y_{最，大值}=；拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的解析式；對(duì)于三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理要熟練運(yùn)用．