Question

如圖，A、B是⊙O上的兩點，∠AOB=120°，點D為劣弧的中點．
（1）求證：四邊形AOBD是菱形；
（2）延長線段BO至點P，交⊙O于另一點C，且BP=3OB，求證：AP是⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）連接OD．
∵∠AOB=120°，點D為劣弧的中點，
∴∠AOD=∠DOB=60°．
∵OA=OD=OB，
∴△AOD、△BOD都是等邊三角形，
∴OA=OB=BD=AD，
∴四邊形AOBD是菱形；

（2）連接AC．
∵BP=3OB，OB=OC，
∴PC=CO．
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°．
又OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，AC=OC．
∴AC=PO．
∴∠PAO=90°．
∴OA⊥PA，
∴AP是⊙O的切線．
分析：（1）連接OD．則∠AOD=∠DOB=60°，△AOD、△BOD都是等邊三角形，所以四邊形四邊都相等，判定為菱形；
（2）要證明AP是⊙O的切線，只需證出OA⊥PA即可．連接AC，易證△APB為等邊三角形，得AC=CO；根據(jù)BP=3OB，可得PC=CO，所以AC=PO，從而得∠PAO=90°．
點評：此題考查了切線的判定、菱形的判定等知識點，難度中等．