【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)交x軸于點A(2,0),B(﹣3,0),交y軸于點C,且經(jīng)過點d(﹣6,﹣6),連接AD,BD.
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若點M為X軸上方的拋物線上一點,能否在點A左側(cè)的x軸上找到另一點N,使得△AMN與△ABD相似?若相似,請求出此時點M、點N的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點P是直線AD上方的拋物線上一動點(不與A,D重合),過點P作PQ∥y軸交直線AD于點Q,以PQ為直徑作⊙E,則⊙E在直線AD上所截得的線段長度的最大值等于 .(直接寫出答案)
【答案】(1);(2) 或 ,點 或 或(﹣3,0)或 ;(3) .
【解析】
(1)用交點式函數(shù)表達式得:y=a(x﹣2)(x+3),將點D坐標代入上式即可求解;
(2)分∠MAB=∠BAD、∠MAB=∠BDA,兩種大情況、四種小情況,分別求解即可;
(3)QH=PHcos∠PQH=,即可求解.
解:(1)用交點式函數(shù)表達式得:y=a(x﹣2)(x+3),
將點D坐標代入上式并解得:a=,
故函數(shù)的表達式為:y=…①,
則點C(0,);
(2)由題意得:AB=5,AD=10,BD=3 ,
①當∠MAB=∠BAD時,
當∠NMA=∠ABD時,△AMN∽△ABD,
則tan∠MAB=tan∠BAD=,
則直線MA的表達式為:y=﹣x+b,
將點A的坐標代入上式并解得:b=,
則直線AM的表達式為:y=﹣x+…②,
聯(lián)立①②并解得:x=0或2(舍去2),
即點M與點C重合,則點M(0,2),則AM=2,
∵△AMN∽△ABD,∴,解得:AN=4,
故點N(2﹣4,0);
當∠MN′A=∠ABD時,△ANM∽△ABD,
同理可得:點N′(2﹣,0),
即點M(0,),點N(2﹣4,0)或(2﹣,0);
②當∠MAB=∠BDA時,
同理可得:點M(﹣1,),點N(﹣3,0)或(﹣,0);
故:點M(0,)或(﹣1,), 點N(2﹣4,0)或(2﹣,0)或(﹣3,0)或(﹣,0);
(3)如圖所示,連接PH,
由題意得:tan∠PQH=,則cos∠PQH=,
則直線BD的表達式為:y=x﹣,
設(shè)點P(x,),則點H(x,),
則QH=PHcos∠PQH=PH=)=,
∵<0,故QH有最大值,當x=﹣2時,其最大值為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在“新冠肺炎防控”知識宣傳活動中,某社區(qū)對居民掌握新冠肺炎防控知識的情況進行調(diào)查.其中、兩區(qū)分別有500名居民,社區(qū)從中各隨機抽取50名居民進行相關(guān)知識測試,并將成績進行整理得到部分信息:
(信息一)小區(qū)50名居民成績的頻數(shù)直方圖如圖(每一組含前一個邊界值,不含后一個邊界值);
(信息二)圖中,小區(qū)從左往右第四組的成績?nèi)缦?/span>
75 | 75 | 79 | 79 | 79 | 79 | 80 | 80 |
81 | 82 | 82 | 83 | 83 | 84 | 84 | 84 |
(信息三)、兩小區(qū)各50名居民成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率(80分及以上為優(yōu)秀)、方差等數(shù)據(jù)如下(部分空缺):
小區(qū) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 優(yōu)秀率 | 方差 |
75.1 | 79 | 277 | |||
75.1 | 77 | 76 | 211 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)求小區(qū)50名居民成績的中位數(shù);
(2)請估計小區(qū)500名居民中能超過平均數(shù)的有多少人?
(3)請盡量從多個角度比較、分析,兩小區(qū)居民掌握新冠防控知識的情況.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線G:y1=a(x+1)2+2與H:y2=﹣(x﹣2)2﹣1交于點B(1,﹣2),且分別與y軸交于點D、E.過點B作x軸的平行線,交拋物線于點A、C,則以下結(jié)論:①無論x取何值,y2總是負數(shù);②拋物線H可由拋物線G向右平移3個單位,再向下平移3個單位得到;③當﹣3<x<1時,隨著x的增大,y1﹣y2的值先增大后減小;④四邊形AECD為正方形.其中正確的是( )
A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解某校九年級男生的體能情況,體育老師從中隨機抽取部分男生進行引體向上測試,并對成績進行了統(tǒng)計,繪制成尚不完整的扇形圖和條形圖,根據(jù)圖形信息回答下列問題:
(1)本次抽測的男生有________人,抽測成績的眾數(shù)是_________;
(2)請將條形圖補充完整;
(3)若規(guī)定引體向上6次以上(含6次)為體能達標,則該校125名九年級男生中估計有多少人體能達標?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O的半徑是2,點A,B在⊙O上,且∠AOB=90°,動點C在⊙O上運動(不與A,B重合),點D為線段BC的中點,連接AD,則線段AD的長度最大值是_______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與y軸相交于點A(0,3),與x正半軸相交于點B,對稱軸是直線x=1.
(1)求此拋物線的解析式以及點B的坐標.
(2)動點M從點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動,同時動點N從點O出發(fā),以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動,當N點到達A點時,M、N同時停止運動.過動點M作x軸的垂線交線段AB于點Q,交拋物線于點P,設(shè)運動的時間為t秒.
①當t為何值時,四邊形OMPN為矩形.
②當t>0時,△BOQ能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△OAB中,∠AOB=90°,AO=2,BO=4.將△OAB繞頂點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△OA1B1處,此時線段OB1與AB的交點D恰好為線段AB的中點,線段A1B1與OA交于點E,則圖中陰影部分的面積__.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線過點A(m-2,n), B(m+4,n),C(m,).
(1)b=__________(用含m的代數(shù)式表示);
(2)求△ABC的面積;
(3)當時,均有,求m的值.
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